Adveksjonslikninga

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Adveksjonslikninga er ei partiell differensiallikning som styrer rørsla til ein konservert skalar når den vert advektert av eit kjend vektorfelt. Den vert utleia ved å bruke skalaren si bevaringslov i lag med Gauss sitt teorem og ved å bruke infinitesimale grenser.

Det beste døme på dette er kanskje transport av oppløyst salt i vatn.

Matematisk kan ein uttrykke adveksjonslikninga som:


\frac{\partial\psi}{\partial t}
+\nabla\cdot\left(
\psi{\bold u}\right)
=0

der ∇· er divergensen. Ofte tenkjer ein seg at snøggleiksfeltet er solenoidalt, altså er \nabla\cdot{\bold u}=0. Når dette er oppfyllt vert likninga over redusert til


\frac{\partial\psi}{\partial t}
+{\bold u}\cdot\nabla\psi=0.

Visst straumen er laminær, er {\bold u}\cdot\nabla\psi=0 som viser at \psi er konstant langs ei straumlinje.

Adveksjonslikninga er ikkje enkel å løyse numerisk: Systemet er ei hyperbolsk partiell differensiallikning, og interesseområdet er vanlegvis rundt diskontinuerlege «sjokkløysingar» (som er svært vanskeleg å takle for numeriske skjema).

Sjølv med konstant fart og eit eindimensjonalt rom er systemet vanskeleg å simulere (det er ein standardtest for adveksjonsskjema som vert kalla grisehusproblem). Likninga over blir då:


\frac{\partial\psi}{\partial t}+u\frac{\partial\psi}{\partial x}=0

der \psi=\psi(x,t).

I følgje Zang [2] kan ei skeivsymmetrisk form av adveksjonsoperatoren hjelpe den numeriske løysinga.


\frac{1}{2} {\bold u} \cdot \nabla {\bold u} + \frac{1}{2} \nabla ({\bold u} {\bold u})

der  \nabla ({\bold u} {\bold u}) er ein vektor med komponentar [\nabla ({\bold u} u_x),\nabla ({\bold u} u_y),\nabla ({\bold u} u_z)] der ein har brukt notasjonen  {\bold u} = [u_x,u_y,u_z].

Sidan skeivsymmetri berre medfører komplekse eigenverdiar, reduserer denne forma «oppblåsing» og «spektral blokkering», som ein ofte får i numeriske løysingar med skarpe diskontinuitetar (sjå Boyd [1] pp. 213).

Andre storleikar[endre | endre wikiteksten]

Adveksjonslikninga gjeld òg om storleiken som vert advektert er representert ved ein sannsynstettleiksfunksjon i kvart punkt, men å rekne ut diffusjonen vert då vanskelegare.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

[1] Boyd, J.P.: 2000, Chebyshev and Fourier Spectral Methods 2nd edition, Dover, New York

[2] Zang, T: 1991, On the rotation and skew-symmetric forms for incompressible flow simulations, Applied Numerical Mathematics,7,27-40.

en:Advection equation

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]