Eigenfunksjon

Denne løysinga for vibrasjonar på ei sirkulær tromme er, til ei kvar tid, ein eigenfunksjon av laplaceoperatoren til disken.

Ein eigenfunksjon er i matematikk ein lineær operator A, definert for eit funksjonsrom, som gjer at funksjonen f, som er ulik null i det same funksjonsrommet, kjem ut akkurat slik han var før ein utførte operasjonen. Unntaket er for ein multiplikativ skaleringsfaktor. Meir presist kan ein uttrykke dette som:

$\mathcal A f = \lambda f$

for ein skalar, λ, den tilhøyrande eigenverdien. Løysinga på det differensielle eigenverdiproblemet er òg avhengig av grensevilkåra som $f$ krev. I kvart tilfelle er det berre visse eigenverdiar $\lambda=\lambda_n$ ($n=1,2,3,...$) som tillet ei samsvarande løysing for $f=f_n$ (med kvar $f_n$ tilhøyrande eigenverdien $\lambda_n$) i kombinasjon med grensevilkåra. Eksistensen til eigenfunksjonane er ofte den mest innsiktsfulle måten å analysere $A$ på.

Til dømes er $f_k(x) = e^{kx}$ ein eigenfunksjon for differensialoperatoren:

$\mathcal A = \frac{d^2}{dx^2} - \frac{d}{dx}$

for alle verdiar av $k$ med ein samsvarande eigenverdi $\lambda = k^2 - k$. Om grensevilkåra gjeld for dette systemet (t.d., $f=0$ ved to fysiske stader i rommet), så kan berre visse verdiar av $k=k_n$ tilfredsstille grensevilkåra, og ein får samsvarande diskrete eigenverdiar $\lambda_n=k_n^2-k_n$.

For signal og system er eigenfunksjonen til eit system det signalet $f(t)$ som ein puttar inn i systemet og som gjev svaret $y(t) = \lambda f(t)$ med den komplekse konstanten $\lambda$.

Eigenfunksjonar spelar ei viktig rolle i mange greiner innan fysikken, til dømes kvantemekanikk.

Sjå òg

• Eigenverdi, eigenvektor og eigerom

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Eigenfunction» frå Wikipedia på engelsk, den 30. november 2009.