Eigenfunksjon

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk
Denne løysinga for vibrasjonar på ei sirkulær tromme er, til ei kvar tid, ein eigenfunksjon av laplaceoperatoren til disken.

Ein eigenfunksjon er i matematikk ein lineær operator A, definert for eit funksjonsrom, som gjer at funksjonen f, som er ulik null i det same funksjonsrommet, kjem ut akkurat slik han var før ein utførte operasjonen. Unntaket er for ein multiplikativ skaleringsfaktor. Meir presist kan ein uttrykke dette som:


\mathcal A f = \lambda f

for ein skalar, λ, den tilhøyrande eigenverdien. Løysinga på det differensielle eigenverdiproblemet er òg avhengig av grensevilkåra som f krev. I kvart tilfelle er det berre visse eigenverdiar \lambda=\lambda_n (n=1,2,3,...) som tillet ei samsvarande løysing for f=f_n (med kvar f_n tilhøyrande eigenverdien \lambda_n) i kombinasjon med grensevilkåra. Eksistensen til eigenfunksjonane er ofte den mest innsiktsfulle måten å analysere A på.

Til dømes er f_k(x) = e^{kx} ein eigenfunksjon for differensialoperatoren:


\mathcal A = \frac{d^2}{dx^2} - \frac{d}{dx}

for alle verdiar av k med ein samsvarande eigenverdi \lambda = k^2 - k. Om grensevilkåra gjeld for dette systemet (t.d., f=0 ved to fysiske stader i rommet), så kan berre visse verdiar av k=k_n tilfredsstille grensevilkåra, og ein får samsvarande diskrete eigenverdiar \lambda_n=k_n^2-k_n.

For signal og system er eigenfunksjonen til eit system det signalet f(t) som ein puttar inn i systemet og som gjev svaret y(t) = \lambda f(t) med den komplekse konstanten \lambda.

Eigenfunksjonar spelar ei viktig rolle i mange greiner innan fysikken, til dømes kvantemekanikk.

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]

Kjelder[endre | endre wikiteksten]