Flatetregleiksmoment

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Flatetregleiksmoment, eller anna flatemoment, er ein storleik som gjev eit mål for korleis ei geometrisk flate fordeler seg om ei linje i flata.

Kvar enkelt flatedel blir multiplisert med kvadratet av avstanden sin, y, frå linja, og summen av alle desse produkta er lik flata sitt flatetregleiksmoment med omsyn på den valde linja.

I=\int\limits_A y^2\, dA

Om ein reknar ut flatetregleiksmomentet om ei linje normalt på flata, vert det kalla polart flatetregleiksmoment .

Omgrepet har særs stor tyding mellom anna i teorien for bøying av bjelkar, ved torsjon og i statikk.

Rektangulært tverrsnitt[endre | endre wikiteksten]

Rektangulært tverrsnitt
Steinerteoremet for utrekning anna arealmoment
Rektangulært tverrsnitt
Røyrtverrsnitt

Integralet vert løyst på følgjande måte på måte for eit rektangulært tverrsnitt:

I_x=\int\limits_{-h/2}^{h/2} y^2\, b dy = {\left [ \frac{y^3 b}{3} \right  ]}_{-h/2}^{h/2} = \frac{b h^3}{12}

der h er høgda, og b er breidda av det rektangulære tverrsnittet. Ix blir da flatetregleiksmomentet om x-aksen i senteret C.


Sirkulært tverrsnitt[endre | endre wikiteksten]

Integralet er ikkje vist her, men eit røyrtverrsnitt vert rekna ut frå I=\frac{\pi D^4}{64}, der D er ytterdiameteren.

Røyrtverrsnitt[endre | endre wikiteksten]

I=\frac{\pi}{64}(D^4-d^4)

der D er ytterdiameteren, og d er innerdiameteren.

Bruk av flatetregleiksmoment[endre | endre wikiteksten]

Eit vanleg bruksområde av flatetregleiksmoment er ved utrekning av bøyespenninga, \sigma_b i ein bjelke.

\sigma_b = \frac{M}{I}y

der M er momentet, I er flatetregleiksmomentet og y er avstanden frå arealsenteret til punktet der du ønsker å rekne ut spenninga. Dersom du har eit rektangulært tverrsnitt er y = h/2.

Steinerteoremet[endre | endre wikiteksten]

Dersom du har eit tverrsnitt som er samansett av fleire areal som ikkje ligg på same akse som tyngdepunktet av arealet, er det vanleg å bruke Steinerteoremet for å rekne ut flatetregleiksmomentet, kalla parallellakseteoremet, eller Steinersatsen.

I_z = I_x + Ad^2.\,, der Ix er flatetregleiksmoment for arealet som ligg på ein parallell akse utanfor arealsenteret (i akse z), d er avstanden frå arealsenteret i akse z til arealsenteret av A.

Motstandsmomentet[endre | endre wikiteksten]

Eit anna vanleg omgrep i bjelkeberekningar er motstandsmomentet eller tverrsnittsmodulen (engelsk section modulus), og vert ofte skrive W. I vanleg praksis vert bøyespenningen \sigma_b rekna ut frå

 \sigma_b = \frac{M}{W}, der W = \frac {I} {y} = \frac {I} {h/2}

siden arealsenteret til tverrsnittet vanlegvis ligg i midten av tverrsnittet, og følgjeleg er avstanden frå senteret av tverrsnittet til ytste fiber lik h/2.

Motstandsmomentet for nokre vanlege tverrsnitt er gjeve under

Rektangulært tverrsnitt[endre | endre wikiteksten]

W_x = \frac {bh^2}{6}

der b er breidda og h er høgda. Her gjeld bøying om x-aksen.

Sirkulært tverrsnitt[endre | endre wikiteksten]

_W = \frac {\pi D^3}{32}

der D er diameteren.

Røyrtverrsnitt[endre | endre wikiteksten]

W = \frac {\pi}{32 D}(D^4 - d^4)

der D er ytterdiameter og d er innerdiameter.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]