Gradient

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk
Skalarfeltet på dei to figurane er svart og kvitt. Det svarte representerer høgare verdiar og dei blå pilene representerer gradienten.

Ein gradient i eit skalarfelt er eit vektorfelt som peikar i retninga der skalarfeltet aukar mest. Helling er i røynda ein gradient.

Ei generalisering av gradienten for funksjonar i eit euklidsk rom som har verdiar i eit anna euklidsk rom er jakobisk. Ei vidare generalisering for ein funksjon frå eit banach-rom til eit anna er den fréchet derivertee.

Tolking[endre | endre wikiteksten]

Tenk deg eit rom der temperaturen er gjeven av eit skalarfelt T, slik at i kvart punkt (x,y,z) er temperaturen T(x,y,z) (vi reknar her at temperaturen ikkje endrar seg med tida). I kvart punkt i dette rommet vil gradienten til T syne i kva retning temperaturen stig raskast. Storleiken til gradienten vil avgjere kor raskt temperaturen stig i denne retninga.

Tenk deg ein ås der høgda over havet i kvart punkt (x, y) er H(x, y). Gradienten til H i eit punkt er ein vektor som peikar i retninga der hellinga er brattast. Kor bratt hellinga er i dette punktet er avgjort av storleiken til gradientvektoren.

Gradienten kan nyttast til å måle korleis eit skalarfelt endrar seg i alle retninga, ikkje berre den retninga med størst endring. Dette gjer ein ved å ta eit prikkprodukt. Tenk deg åsen igjen og at den brattaste hellinga i åsen er 40 %. Om ein veg går rett opp åsen så vil den brattaste delen av vegen òg vere på 40 %. Om vegen i staden går på skrått oppover åsen (gardientvektoren), så vil ikkje vegen vere like bratt. Til dømes, om vinkelen mellom vegen og retninga rett opp åsen på projektert ned på eit horisontalt plan er 60º, så er den brattaste hellinga på vegen 20 %, som er 40 % gangar cosinus til 60º.

Definisjon[endre | endre wikiteksten]

Gradienten (eller gradientvektorfeltet) til ein skalar funksjon f(x_1, x_2, x_3, \dots x_n) er skrive \nabla f or \vec{\nabla} f der \nabla (nablasymbolet) skildrar differensialoperatoren til vektoren, del. Notasjonen \operatorname{grad}(f) vert òg nytta for gradienten. Gradienten til f er definert som eit vektorfelt der komponentane er partiellderiverte av f. Altså:

 \nabla f  = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots,  \frac{\partial f}{\partial x_n }  \right).

Her er gradienten skrive som ein rekkjevektor, men vert ofte mistolka som ein søylevektor. Når ein funksjon er avhengig av ein parameter som tid, så omhandlar som regel vektoren berre dei romlege derivative.

Uttrykk for gradienten i tre dimensjonar[endre | endre wikiteksten]

Gradientforma er avhengig av koordinatsystemet som er nytta. I kartesiske koordinatar vert uttrykket over skrive som

\nabla f(x, y, z) = 
\left(\frac{\partial f}{\partial x},
\frac{\partial f}{\partial y},
\frac{\partial f}{\partial z}\right)

som ofte vert skriven ved å nytte dei vanlege vektorane \hat{i}, \hat{j}, \hat{k}:

\frac{\partial f}{\partial x} \hat{i} +
\frac{\partial f}{\partial y} \hat{j} +
\frac{\partial f}{\partial z} \hat{k}

I sylindriske koordinatar vert gradienten gjeven som:

\nabla f(\rho, \theta, z) = 
\frac{\partial f}{\partial \rho}\mathbf{e}_\rho+
\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta+
\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_z

der \theta er kompassvinkelen, z er aksekoordinaten og eρ, eθ and ez er einingsvektorar som peiker langs koordinatretningane.

I sfæriske koordinatar:

\nabla f(r, \theta, \phi) = 
\frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r+
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_\theta+
\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_\phi

der \phi er kompassvinkelen og \theta er senitvinkelen.

Døme[endre | endre wikiteksten]

Til dømes er gradienten til ein funksjon i kartesiske koordinatar

f(x,y,z)= \ 2x+3y^2-\sin(z)

er:

\nabla f= \left(
\frac{\partial f}{\partial x},
\frac{\partial f}{\partial y},
\frac{\partial f}{\partial z}\right)
 = \left( 2, 6y, -\cos(z)\right).

Kjelder[endre | endre wikiteksten]