Grense i matematikk

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Grense eller grenseverdi vert i matematikk nytta til å vise til ein verdi som ei rekkje eller funksjon nærmar seg, når argumentet til denne nærmar seg eit bestemt punkt, eller uendeleg.

Ei uendeleg talfølgje a1, a2, ... vert sagt å konvergere mot eit tal g viss talfølgja nærmar seg g som si grense. Viss ei slik grense g finst, vert talfølgja sagt å vere konvergent. I motsett fall er ho divergent.

Limes er eit anna namn på grenseverdi som i matematiske formlar vert forkorta til symbolet lim. Til dømes: \lim_{n \to \infty} x_n

Grenseverdien til ein reell funksjon[endre | endre wikiteksten]

Symbolet \lim_{x \to a} f(x) syner til grenseverdien til funksjonen f når variabelen x nærmar seg a. Her kan a anten ver eit reelt tal eller +\infty eller -\infty. Grenseverdien sjølv kan òg vere eit reelt tal, eller +\infty eller -\infty.

Den matematiske definisjonen er som følgjer: For ein funksjon f, og reelle tal a og b, så er

\lim_{x \to a} f(x) = b

viss det for kvart reelt tal ε > 0 finst eit reelt tal δ > 0, slik at viss x er eit tal i definisjonsmengda til f, gjeld det at

 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-b| < \epsilon.

Denne definisjonen kan uttrykkast slik: Skilnaden mellom f(x) og b kan gjerast så liten ein vil, ved å velje x tilstrekkeleg nær a.

Grenseverdiar kan til dømes nyttast for å studere oppførselen til ein funksjon i nærleiken av punkt der han ikkje er definert. Funksjonen

f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}

er ikkje definert i punktet x = 1, sidan nemnaren her er lik 0. Men viss ein lèt x vere eit tal i nærleiken av 1, ser ein at f(x) vil vere nær 2, og dess nærare ein lèt x vere 1, jo nærare vil funksjonsverdien vere 2. Derfor er

\lim_{x\to 1} f(x) = 2.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]