Kardioide

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk
Ein kardioide skapt av ein rullande sirkel.

Kardioide er ei «hjarteforma» algebraisk kurve av 4. grad.

Likningar[endre | endre wikiteksten]

Basert på skildringa av ein rullande sirkel kring ein fast sirkel, der begge sirklane har radius a, kan kardioiden skildrast av dei parametriske likningane:

 x = a (2\cos t - \cos 2 t), \,
 y = a (2\sin t - \sin 2 t). \,

I det komplekse planet vert dette

 z = a (2e^{it} - e^{2it}). \,

Her er a radiusen til sirkelen som skapar kurven, og den faste sirkelen er sentrert ved origo. Punktet som skapar kurven rører den faste sirkelen ved (a, 0), toppunktet. Parameteren t kan eliminerast ved

(z\bar{z}-a^2)^2 -4a^2(z-a)(\bar{z}-a)=0

eller i rektangulære koordinatar,

(x^2+y^2-a^2)^2-4a^2((x-a)^2+y^2)=0.\,


Desse likningane kan forenklast noko med å flytte den faste sirkelen til høgre a einignar og velje punktet på den rullande sirkelen slik at han rører den faste sirkelen i origo. Dette endrar orienteringa til kurven slik at toppunktet vert til venstre. Dei parametriske likningane vert då:

 x = a (1 + 2\cos t + \cos 2 t), \,
 y = a (2\sin t + \sin 2 t), \,

eller i det komplekse planet,

 z = a (1 + 2e^{it} + e^{2it}) = a(1 + e^{it})^2. \,

Med å erstatte u=tan t/2,

 e^{it} = \frac{1+iu}{1-iu},

gjeve ei rasjonal parametrisering:

 z = \frac{4a}{(1-iu)^2},

or

 x = \frac{4a(1-u^2)}{(1+u^2)^2},
 y = \frac{8au}{(1+u^2)^2}.

Denne parametriseringa kan òg skrivast

 z = e^{it} 2a (1+\cos t), \,

og i denne forma er det tydeleg at likninga for denne kardioiden kan skrivast i polarkoordinatar som

 r = 2a(1 + \cos \theta)\,

der θ erstattar parameteren t. Dette kan òg skrivast

 r = 4a\cos^2 \frac{\theta}{2}\,

som impliserer at kurven er eit medlem av familien av sinusforma spiralar.

I kartesiske koordinatar vert likninga for kardioiden

 \left(x^2+y^2-2ax\right)^2 = 4a^2\left(x^2 + y^2\right).\,

Metriske eigenskapar[endre | endre wikiteksten]

Arealet til flata til kardioden kan reknast ut frå polarlikninga:

 A = 6 \pi a^2\,

eller 6 gonger arealet til sirkelen som skapte kurven.

Bogelengden til kardioden kan reknast ut nøyaktig, noko som er sjeldant for algebraiske kurver. Den totale lengda er

 L = 16 a.\,.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]

Commons-logo.svg Commons har multimedia som gjeld: Kardioide