Kardioide
Kardioide er ei «hjarteforma» algebraisk kurve av 4. grad.
Likningar[endre | endre wikiteksten]
Basert på skildringa av ein rullande sirkel kring ein fast sirkel, der begge sirklane har radius a, kan kardioiden skildrast av dei parametriske likningane:
I det komplekse planet vert dette
Her er a radiusen til sirkelen som skapar kurven, og den faste sirkelen er sentrert ved origo. Punktet som skapar kurven rører den faste sirkelen ved (a, 0), toppunktet. Parameteren t kan eliminerast ved
eller i rektangulære koordinatar,
Desse likningane kan forenklast noko med å flytte den faste sirkelen til høgre a einignar og velje punktet på den rullande sirkelen slik at han rører den faste sirkelen i origo. Dette endrar orienteringa til kurven slik at toppunktet vert til venstre. Dei parametriske likningane vert då:
eller i det komplekse planet,
Med å erstatte u=tan t/2,
gjeve ei rasjonal parametrisering:
or
Denne parametriseringa kan òg skrivast
og i denne forma er det tydeleg at likninga for denne kardioiden kan skrivast i polarkoordinatar som
der θ erstattar parameteren t. Dette kan òg skrivast
som impliserer at kurven er eit medlem av familien av sinusforma spiralar.
I kartesiske koordinatar vert likninga for kardioiden
Metriske eigenskapar[endre | endre wikiteksten]
Arealet til flata til kardioden kan reknast ut frå polarlikninga:
eller 6 gonger arealet til sirkelen som skapte kurven.
Bogelengden til kardioden kan reknast ut nøyaktig, noko som er sjeldant for algebraiske kurver. Den totale lengda er
- .
Kjelder[endre | endre wikiteksten]
- Denne artikkelen bygger på «Cardioid» frå Wikipedia på engelsk, den 14. september 2011.