Kjeglependel

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Ein kjeglependel eller konisk pendel er ein pendel der loddet rører seg langs ein horisontal sirkel, medan snora som loddet er festa til, skildrar ei kjegleflate.[1]

Kjeglependelen vart først studert av den engelske forskaren Robert Hooke kring 1660 [2] som ein modell for banerørsla til planetar.[3] I 1673 rekna den nederlandske forskaren Christiaan Huygens ut perioden til pendelen og nytta eit nytt omgrep han kalla sentrifugalkraft. Seinare vart pendelen nytta for å ta tida i enkle mekaniske klokker.[4][5]

Analyse[endre | endre wikiteksten]

Ta utgangspunkt i ein kjeglependel med eit lodd med masse m som roterer utan friksjon i ein sirkel med ein konstant fart v på ei snor med ei lengd L og ein vinkel θ ut frå vertikalen.

Det er to krefter som verkar på loddet:

  • trekkspenninga T i snora, som fungerer langs same linja som snoar og mot opphengpunktet.
  • vekta til loddet mg, der m er massen til loddet og g er den lokale tyngdeakselerasjonen.

Krafta som vert utøvd av strengen kan skrivast med ein horisontal komponent, T sin(θ), mot midten av sirkelen, og ein vertikal komponent, T cos(θ), i retning oppover. Frå Newtons andre lov gjev den horisontale komponenten til spenninga i snora loddet ein sentripetalakselerasjonen mot midten av sirkelen:

T \sin \theta =  \frac {mv^2}{r} \,
Kjeglependel med eit lodd som snurrar i ein horisontal sirkel med radius r. Loddet har massen m og heng i ei snor med lengd L. Trekkspenninga i snora som verkar på loddet er vektoren T, og vekta til loddet er vektoren mg.

Sidan det ikkje er noko akselerasjon i den vertikale retninga, er den vertikale komponenten av spenninga i snora lik og motsett retta vekta av loddet:

T \cos \theta = mg \,

Desse to likningane kan løysast for T/m og utlikna slik at ein kan eliminere T og m:

\frac{g} {\cos\theta} = \frac {v^2} {r\sin \theta}

Sidan farten til loddet er konstant, kan han uttrykkast med omkrinsen 2πr dividert på tida t det tar for loddet å ta ein runde rundt sirkelen:

 v = \frac {2\pi r}{t}

Ved å erstatte høgresida i denne likninga for v i den førre likninga får vi:


\frac {g} {\cos \theta}
= \frac {( \frac {2 \pi r} {t} )^2} {r \sin \theta}
= \frac {(2 \pi)^2 r} {t^2 \sin \theta}

Ved å nytte den trigonometriske identiteten tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) og løyse for t, tida det tar loddet å gjere ein runde er

t = 2 \pi \sqrt {\frac {r} {g \tan \theta}}

I eit praktisk eksperiment varierer r og det er ikkje lett å måle. r kan eliminerast frå likninga ved å sjå at r, h og L dannar ein rettvinkla trekant, der θ er vinkelen mellom h og hypotenusen L (sjå figuren). Derfor,

r = L \sin \theta \,

Ved å setje inn for r får ein ein formel der den einaste varierande parameteren er vinkelen θ:[6]

t = 2 \pi \sqrt { \frac {L \cos \theta} {g} }

For små vinklar θ, cos(θ) ≈ 1, og perioden t til ein kjeglependel er lik perioden til ein vanleg pendel med same lengd. Perioden for små vinklar er òg tilnærma uavhengig av endringar i vinkelen θ. Dette tyder at rotasjonsperioden er tilnærma uavhengig av krafta som vert nytta til å halde han roterande. Denne eigenskapen, kalla isokronisme, har òg vanlege pendlar og dette gjer at begge er nyttige for tidtaking.

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

  1. kjeglependel. (27.02.2013) I Store norske leksikon. Henta frå: http://snl.no/kjeglependel
  2. O'Connor, J.J.; E.F. Robertson (August 2002). «Robert Hooke». Biographies, MacTutor History of Mathematics Archive. School of Mathematics and Statistics, Univ. of St. Andrews, Scotland. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Hooke.html. Henta 17. mai 2013. 
  3. Nauenberg, Michael (2006). «Robert Hooke's seminal contribution to orbital dynamics». Robert Hooke: Tercentennial Studies. Ashgate Publishing. pp. 17–19. ISBN 0-7546-5365-X. http://books.google.com/books?id=P0-XfTTcwwQC&pg=PA3&lpg=PA17&dq=Nauenberg+Robert+hooke+orbital+seminal&source=bl&ots=zO22H8fKNA&sig=8s2F9CBhTetr28uvBeFuaEQoMik&hl=en&. 
  4. Beckett, Edmund (Lord Grimsthorpe) (1874). A Rudimentary Treatise on Clocks and Watches and Bells, 6th Ed.. London: Lockwood & Co.. s. 22–26. 
  5. «Clock». Encyclopaedia Britannica, 9th Ed.. 6. Henry G. Allen Co.. 1890. pp. 15. 
  6. Serway, Raymond (1986). Physics for Scientists and Engineers, second ed.. Saunders College Publishing. s. 109. ISBN 0-03-004534-7. 

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]