Kronecker-delta

Det matematiske symbolet Kronecker-delta $\delta_{ij}$, som vart innført av Leopold Kronecker, er ein funksjon i to variablar. Det vert òg kalla Kronecker-symbol og delta-funksjon vert og nytta.

Definisjon

Kronecker-delta vert definert som:

$\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{for } i=j \\ 0 & \mbox{for } i \neq j \end{matrix}\right.$

der i og j er element i ei mengde $I$.

Eigenskapar

• Kronecker-delta vert ofte skiven som

$\delta=\mathrm{1}_D:I\times I\to \{0,1\}$,

når den står for den karakteristiske funksjonen $\mathrm{1}_D$ i ei diagonalmengd.

$D=\{(i,j)\in I\times I:\; i=j\}$.

Døme på bruk

• Innan lineær algebra vert symbolet nytta for å uttrykka einheitsmatrisa $n\times n$ som $(\delta_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$. Til dømes kan ei 3x3 einheitsmatrise uttrykkast som:

$(\delta_{ij})_{1\leq i\leq 3,\, 1\leq j\leq 3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

• Kronecker-delta kan nytta for å uttrykka skalarproduktet av to orthonormale vektorar:

$e_1, \dots, e_n$ als $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$.

• Innan digital signalhandsaming og reguleringsteknikk vert symbolet nytta for å representera ein impuls:

$\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}$

Sjå òg

• Levi-Civita-symbol.