Sampling

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Sampling, tasting, eller punktprøving, er ein operasjon der ein måler amplituden til eit analogt seignal ved (vanlegvis) faste tidspunkt. Sampling diskretiserer tidsaksen, slik at ein endar opp med ein sekvens av analoge måleverdiar. Med analoge måleverdiane meiner ein at amplituden ikkje er diskretisert. I praksis vil amplituden som oftast verta diskretisert (kvantisert) av ein etterfylgjande AD-omformar.

Grunngjeving for å sampla[endre | endre wikiteksten]

Fig. 1 Blokkdiagrm for digital signalhandsaming.

Når eit tidskontinuerleg signal skal handsamast eller lagrast på digital form må det først konverterast til ein sekvens av binære ord. Fig. 1 syner korleis eit system for sanntids digital signalhandsaming er bygd opp. Den grøne blokka til venstre konverterer eit analogt signal u(t) til ein sekvens av binære ord u(n). Den gule blokka i midten utfører ein eller annan form for filtreting, eller annan operasjon, av sekvensen u(n). Resultatet av denne prosesseringa er den binære sekvensen y(n), som vert konvertert til eit tidskontibuerleg analogt signal av den blå blokka til høgre i Fig. 1. Dette vert kalla rekonstruksjon. Om målet er å analysera signalt u(t) trengst ikkje rekonstruksjonsblokka til høgre i Fig. 1.

Kvantisering i tids og amplitude[endre | endre wikiteksten]

Fig. 2 To alternativ for kvantisering av amplitide- og tidsaksane.

Det analoge signalet u(t) er kontinuerleg både i tid og amplitude. At signalet er tids-kontinuerleg tyder at verdien u(t) er definert for alle tidsverdiar t. At signalet er analogt tyder at at alle verdiar, innan gitte minimum- og maksimumverdiar, er definerte, slik at signalet har ein kontinerleg varierande amplitude. Når eit slikt analogt signal skal konverterast til ein sekvens av binære ord må det kvantiserast både i tid og amplitude. Det er vanleg å kalla kvantiseringa langs tidsaksen for sampling, tasting, eller punktprøving. Ein tek med andre ord prøvar av amplituden med faste tidsinterval, kalla sampelinterval T. Denne operasjonen vert utført av blokka merka Sampler i Fig. 1. Kvantiseringa av amplituden vert tradisjonelt kalla kvantisering. På det viset held ein kvantisering av tid og amplitde frå kvarandre.

I prinsippet spelar det ingen rolle om ein samplar (kvantiserer tidsaksen) først, eller om ein kvantiserer amplitudeaksen fyrst, Fig. 2. Men på grunn av at AD-omformaren treng litt tid til å konvertera frå det analoge signalet på inngangen til eit binært ord vert samplinga utført fyrst, slik som i Fig. 1. Spenninga på inngangen av AD-omformaren vert heldt konstant medan konverteringa foregår. I praksis skjer dette ved at inngangsspenninga vert lagra i ein kondensator. Kombinasjonen av brytaren i sampleren og haldeelementet (kondensatoren) vert kalla ein sample og hald-krins, ofte forkorta til S/H-krins.

Modellering av sampling i tidsplanet[endre | endre wikiteksten]

Fig. 3 Sampelkrins.
a) Brytarmodell
b) PAM-modell.
Fig. 4 Sampling sett i tidsplanet.
a) Analogt inngangssignal u(t)
b) Sampelsekvens s(t)
c) Sampla sekvens u(n)

Punktprøvinga kan modellerast som ein brytar, som vert opna og stengt av impulssekvens s(t), som illustrert i Fig. 3 a). Men krinsen kan òg modellerast som multiplkasjon mellom ngangssignalet u(t) og impulssekvensen s(t), ofte kalla sampelfunksjonen, som vist i Fig. 3 b). Sampelsekvensen kan uttrykkast

\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)

der T er sampelintervalet. Denne impulssekvensen er illustrert i Fig. 4 b), der T sampelinter valet. Operasjonen i Fig. 3 b) er Puls Amplitude Modulasjon (PAM). I tidsplanet kan vi uttrykke det sampla signalet us(t) som:

u_s(t)=u(t)s(t).

Denne multiplikasjonen, eller PAM-modulasjonen, fører til at det tidskontinuerlege analoge inngangssignalet u(t), Fig 3 a), vert sampla (spenninga vert målt) ved sampelpunkta

t = n T, for n = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

Denne diskretiseringa kan modellerast som

u(n) = \lim_{\epsilon\to 0} \int_{t=nT-\epsilon}^{nT+\epsilon}u(t)s(t)dt.

Ein står da att med den tidsdiskrete sekvensen i Fig. 3 c), som er definert berre ved sampelpunkta t = nT.

Etter som sampelintervalet T er konstant kan ein forenkla notasjonen og skriva berre n i staden for nT og u(n) i staden for u(nT).

Modellering av sampling i frekvensplanet[endre | endre wikiteksten]

Fig. 5 Amplitude spektret til eit sampla signal.
a) U(\omega)
b) S(\omega)
c) U_s(\omega) når \omega_M < 2\omega_a
d) U_s(\omega) når \omega_M > 2\omega_a.

For å få betre innsikt i samplingprosessen er det maudsynt å studera han i frekvensplanet. Ein finn frekvensresponsen til u(t) ved å Fourier-transformera u(t). Ettersom u(t) er eit tidskontinuerleg signal må vi nytta ein kontinuerleg Fouriertransform:

U(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}u(t)e^{-j \omega t}dt.

Fouriertransformasjon av impulssekvensen s(t) resulterer i

S(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-j \omega t}dt = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n = -\infty}^{\infty}\delta(t-nT)e^{-j \omega t}dt.
 = \frac{2 \pi}{T}\sum_{n = -\infty}^{\infty}\delta(\omega-\frac{2 \pi k}{T}),

som syner at ein impulssekvens i tidsplanet resulterer i ein impulssekvens i frekvensplanet.

Etter som multiplikasjon i tidsplanet svarar til foldning i frekvensplanet (multiplisert med 1/(2 \pi)) kan frekvensresponssen til u(t) uttrykkast som

U_s(\omega) = \frac{1}{2 \pi}U(\omega)*S(\omega) = \frac{1}{2 \pi}U(\omega)*\frac{2 \pi}{T}\sum_{n = -\infty}^{\infty}\delta(\omega-\frac{2 \pi k}{T})
 = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}U(\omega-k \omega_s),

der * er foldningsoperatoren. Dette syner at sampling resulterer i at spektret til det sampla signalet vert periodiskt repetert; dvs. spektret til det opphavlege signalet U(k), Fig. 5 a), vert repetert for kvar harmoniske av sampelfrekvensen, Fig. 5 c).

Sampelteoremet[endre | endre wikiteksten]

I Fig. 5 c) og 5 d) er \omega_M = 2\pi f_M frekvenskomponenten med høgaste frekvens i inngangssignalet u(t). I Fig. 5 c) er \omega_M < \omega_s/2 og det er ikkje overlapp mellom dei periodisk repeterte spektra U(\omega-k\omega_s). I Fig. 5 d), derimot, er \omega_M > \omega_s/2, noko som medfører at det vert overlapp mellom dei periodisk repeterte spektra U(\omega-k\omega_s). Dette fenomenet vert kalla frekvensaliasing (eller berre aliasing). Aliasing fører til at dei periodisk repeterte spektra vert overlagra kvarandre, noko som betyr at det ikkje lengre vert mogleg å attskapa det opphavlege signalet u(t). Det opphavlege signalet kan berre attskapast når dei periodisk repeterte spektra ikkje overlappar kvarandre, noko som krev at \omega_M < 2\pi f_M.

Dette er Nyquist–Kotelnikov-Shannon sitt sampelteorem:

Eit tidskontinuerleg signal u(t) som berre inneheld frekvenskomponentar under f_s/2 kan rekonstruerast eksakt frå den sampla sekvensen u(n) = u(nT).

Sampelteoremet seier berre at signalet kan gjenskapast, det seier ingen ting om korleis rekonstruksjonen skal utførast. For ei gitt bandbreidd f_M på signalet u(t) krev sampelteoremet at sampelfrekvensen f_s > 2f_M. For å unngå aliasing er det, for en gitt sampelfrekvens f_s, nødvendig å begrensa bandbredda til signalet u(t) før det vert sampla. Dette gjer ein ved å plassera eit lågpassfilter før sample og hald-krinsen, som illustrert i Fig. 1. På grunn av at dette filtret har som oppgåve å forhindra aliasing, vert det kalla eit antialiasingfilter.

Sampelteoremet vert ofte kalla Nyquist sitt sampelteorem, etter Harry Nyquist, som publiserte det i 1924 [1]. Vladimir Kotelnikov publiserte likande resultat i 1933 [2] og Claude Shannon i 1949 [3].

Etter som altialiasingfiltret må vera eit analogt filter har det ulineær faserespons. I somme samanhengar kan den ulineære fasen vera problematisk, men han kan alltids rettast opp med ein faseequialiser realisert på diskret form (som eit digitalt filter) i den etterfyljande prosesseringa.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

  1. Nyquist, H., Certain factors affecting telegraph speed, Bell System Technical Journal, Vol. 3, 1924, ss. 324–346.
  2. Котельников, В.А., О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи, Всесоюзный энергетический комитет//Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. (Kotelnikov, K.A., Om overføringskapasitet i 'eteren' og kabel i elektrisk kommunikasjon), Upr. Svyazzi RKKA, 1933.
  3. Shannon, C.E., Communication in the Presence of Noise, Proc. IRE, Vol. 37, nr. 1, 1949, ss. 10-21.

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]


Digital signalhandsaming

Lineært system | Sampling | Kvantisering | Digitalt filter | Transform | Multirateprosessering | Spektralanalyse | Tid-frekvensanalyse | Adaptivt filter