Tilknytt legendre-funksjon

Ein tilknytt legendre-funksjon er i matematikk ei kanonisk løysing av den generelle legendre-likninga

$(1-x^2)\,y'' -2xy' + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,$

eller

$([1-x^2]\,y')' + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0,\,$

der indeksane $\ell$ og m (som generelt er komplekse storleikar) vert kalla graden og ordenen til den tilknytta legendre-funksjonen. Denne likninga har løysingar som er ikkje-singulære på [−1, 1] berre visst $\ell\,$ og m er heiltal med 0 ≤ m ≤ $\ell$, eller med trivielle ekvivalente negative verdiar. Når m i tillegg er eit liketal, er funksjonen eit polynom. Når m er null og $\ell\,$ eit heiltal er desse funksjonane identiske til legendre-polynom.

Denne ordinære differensiallikninga er ofte nytta i fysikk og andre tekniske felt. Særleg dukkar han opp i løysinga av laplace-likninga (og tilknytte partielle differensiallikningar) i sfæriske koordinatar.

Dei første tilknytta legendre-polynoma

Dei første tilknytte legendre-polynoma, inkludert dei for negative verdiar av m, er:

$P_{0}^{0}(x)=1$

$P_{1}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}P_{1}^{1}(x)$

$P_{1}^{0}(x)=x$

$P_{1}^{1}(x)=-(1-x^2)^{1/2}$

$P_{2}^{-2}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{24}\end{matrix}P_{2}^{2}(x)$

$P_{2}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{6}\end{matrix}P_{2}^{1}(x)$

$P_{2}^{0}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}(3x^{2}-1)$

$P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^2)^{1/2}$

$P_{2}^{2}(x)=3(1-x^2)$

$P_{3}^{-3}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{720}\end{matrix}P_{3}^{3}(x)$

$P_{3}^{-2}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{120}\end{matrix}P_{3}^{2}(x)$

$P_{3}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{12}\end{matrix}P_{3}^{1}(x)$

$P_{3}^{0}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}(5x^3-3x)$

$P_{3}^{1}(x)=-\begin{matrix}\frac{3}{2}\end{matrix}(5x^{2}-1)(1-x^2)^{1/2}$

$P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^2)$

$P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^2)^{3/2}$

$P_{4}^{-4}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{40320}\end{matrix}P_{4}^{4}(x)$

$P_{4}^{-3}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{5040}\end{matrix}P_{4}^{3}(x)$

$P_{4}^{-2}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{360}\end{matrix}P_{4}^{2}(x)$

$P_{4}^{-1}(x)=-\begin{matrix}\frac{1}{20}\end{matrix}P_{4}^{1}(x)$

$P_{4}^{0}(x)=\begin{matrix}\frac{1}{8}\end{matrix}(35x^{4}-30x^{2}+3)$

$P_{4}^{1}(x)=-\begin{matrix}\frac{5}{2}\end{matrix}(7x^3-3x)(1-x^2)^{1/2}$

$P_{4}^{2}(x)=\begin{matrix}\frac{15}{2}\end{matrix}(7x^2-1)(1-x^2)$

$P_{4}^{3}(x)= - 105x(1-x^2)^{3/2}$

$P_{4}^{4}(x)=105(1-x^2)^{2}$

Gjentakingsformel

Desse funksjonane har fleire gjentakande eigenskapar:

$(\ell-m+1)P_{\ell+1}^{m}(x) = (2\ell+1)xP_{\ell}^{m}(x) - (\ell+m)P_{\ell-1}^{m}(x)$

$2mxP_{\ell}^{m}(x)=-\sqrt{1-x^2}\left[P_{\ell}^{m+1}(x)+(\ell+m)(\ell-m+1)P_{\ell}^{m-1}(x)\right]$

$P_{\ell+1}^{m}(x) = P_{\ell-1}^{m}(x) - (2\ell+1)\sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m-1}(x)$

$\sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m+1}(x) = (\ell-m)xP_{\ell}^{m}(x) - (\ell+m)P_{\ell-1}^{m}(x)$

$(x^2-1){P_{\ell}^{m}}'(x) = {\ell}xP_{\ell}^{m}(x) - (\ell+m)P_{\ell-1}^{m}(x)$

$(x^2-1){P_{\ell}^{m}}'(x) = \sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m+1}(x) + mxP_{\ell}^{m}(x)$

$(x^2-1){P_{\ell}^{m}}'(x) = -(\ell+m)(\ell-m+1)\sqrt{1-x^2}P_{\ell}^{m-1}(x) - mxP_{\ell}^{m}(x)$

Nyttige identitetar (initialverdiar for den første repetisjonen):

$P_{\ell}^{\ell}(x) = (-1)^l (2\ell-1)!! (1- x^2)^{(l/2)}$

$P_{\ell +1}^{\ell}(x) = x (2\ell+1) P_{\ell}^{\ell}(x)$

med !! som dobbelfaktor.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Associated Legendre function» frå Wikipedia på engelsk, den 1. desember 2009.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:
  • Arfken G.B., Weber H.J., Mathematical methods for physicists, (2001) Academic Press, ISBN 0-12-059825-6 See Section 12.5. (Uses a different sign convention.)
  • A.R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, (1957) Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 See chapter 2.
  • E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge, England: The University Press. See chapter 3
  • F. B. Hildebrand, Advanced Calculus for Applications, (1976) Prentice Hall, ISBN 0-13-011189-9
  • Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials, Mathematical tables series Vol. 18, Pergamon Press, 379p.

Bakgrunnsstoff

• Legendre-polynom på MathWorld