e i matematikk

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk
e er det unike talet a, slik at verdiar av den deriverte (hellinga til tangentlinja) til eksponentialfunksjonen f (x) = ax (blå kurve) i punktet x = 0 er nøyaktig lik 1. Til samanlikning er funksjonen 2x (prikkete kurve) og 4x (streka kurve) vist; dei er ikkje tangente til linja 1 (raud).
Området under grafen y = 1/x er lik 1 over intervallet 1 ≤ xe

e er ein matematisk konstant og eit unikt reelt tal definert slik at arealet over x-aksen og under kurva y=1/x for 1 ≤ xe er nøyaktig lik 1. Det viser seg at arealet for 1 ≤ xet er t. Altså har funksjonen ex same verdi som hellinga til tangentlinja for alle verdiar av x.[1] Meir generelt kan ein seie at berre funksjonar lik sin eigen derivert er på forma Cex, der C er ein konstant.[2] Funksjonen ex definert slik vert kalla eksponentialfunksjonen og er den inverse til den naturlege logaritmen, eller logaritmen til grunntalet e. Talet e er ofte definert som grunntalet til den naturlege logartimen (i dette tilfellet vert logartimen definert ved hjelp av eit integral), som grensa til ei viss følgje, eller som summen av visse rekkjer.

Talet e er eit av dei viktigaste tala i matematikken,[3] i lag med dei additive og multiplikative identitetane 0 og 1, konstanten π og den imaginære einingane i. Desse fem konstantane utgjer Euleridentiteten.

Talet e vert stundom kalla eulertalet etter den sveitsiske matematikaren Leonhard Euler. (e må ikkje forvekslast med γ – Euler–Mascheroni-konstanten, som stundom vert berre vert kalla Eulerkonstanten.)

Talet e er irrasjonalt; det er ikkje eit forhold mellom heiltal, og heller ikkje transcendentalt eller rota av eit polynom med heiltal som koeffisientar. Den numeriske verdien til e med tjue desimalar er

2,71828 18284 59045 23536….

Historie[endre | endre wikiteksten]

Konstanten vart først nemnd i skriftlege kjelder i 1618 i ein tabell i tilleggsnotatet til eit verk om logaritmar av John Napier.[4] Verket inneheldt ikkje sjølve konstanten, men berre ei liste over naturlege logaritmar som vart rekna ut frå konstanten. Ein reknar med at tabellen vart skriven av William Oughtred. «Oppdaginga» av sjølve konstanten er tilskriven Jacob Bernoulli, som prøvde å finne verdien av uttrykket (som i røynda er e):

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

Første gongen konstanten vart brukt, då som bokstaven b, var i brev frå Gottfried Leibniz til Christiaan Huygens i 1690 og 1691. Leonhard Euler starta å nytte bokstaven e for konstanten i 1727, og den første publikasjonen med e var Euler sin eigen Mechanica (1736). Dei neste åra nytta enkelte forskarar bokstaven c, men etter kvart vart e meir vanleg og til slutt standarden.

Den eksakte årsaka til at ein nytta bokstaven e er ikkje kjend, men det kan ha vore fordi det er første bokstaven i ordet eksponential. Ei anna mogeleg årsak er at Euler nytta e fordi det var den første vokalen etter a som han alt nytta for eit anna tal.

Definisjonar[endre | endre wikiteksten]

Talet e kan representerast på mange forskjellige måtar, som ei uendeleg rekkje, eit uendeleg produkt, ein kjedebrøk eller som grenseverdien til ei rekkje.

Grenseverdi[endre | endre wikiteksten]

Som ein grenseverdi vert e definert

e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Dette er den vanlegaste måten å representere konstanten på.

Uendeleg rekke[endre | endre wikiteksten]

Ein kan òg definere e som summen av følgjande uendelege rekkjer

e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots

der n! er fakultetet av n.

Løysinga av integrallikning[endre | endre wikiteksten]

e kan òg definerast som det unike talet x > 0 slik at

\ln{x} = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}.

Desse forskjellige definisjonane har vorte bevist å vere ekvivalente.

Kjedebrøk[endre | endre wikiteksten]

Ein ikkje så vanleg måte å representere e på er som kjedebrøken

e=2+
\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 {\mathbf 2}+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 {\mathbf 4}+\cfrac{1}{
 \ddots
 }
 }
 }
 }
 }
}

som kan skildrast på den meir kompakte forma:

e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, \ldots,1, \textbf{2n}, 1,\ldots]]. \,

Uendeleg produkt[endre | endre wikiteksten]

Denne måten å representere e på inkluderer Pippengerproduktet

 e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots

og Guilleraproduktet

 e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} 
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4}  \cdots ,

der den nte faktoren er nte-rota av produktet

\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.

Eigenskapar[endre | endre wikiteksten]

e er grunntalet for den naturlege logaritmen:

y = \ln{x} \harr x = e^y.

Vidare er e irrasjonalt, og transcendentalt ifølgje Lindermann-Weierstrass-teoremet. Dette vart først bevist av Charles Hermite i 1873.

Lenkje til komplekse tal[endre | endre wikiteksten]

Med omsyn til Eulerformelen er

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x), \quad i=\sqrt{-1}.

Spesialtilfellet der x=\pi er kjend som eulerlikskapen:

e^{i\pi} +1 = 0 \,\!

Dei harmoniske funksjonane kan berre representerast ved eksponensialfunksjonar.

\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}

Løysinga av differensiallikningar[endre | endre wikiteksten]

Mange vekst- og nedbrytingsprosesser kan modellerast gjennom eksponentialfunksjonar. Eksponentialfunksjonen e^{x} er viktig fordi det er den unike funksjonen som løyser differensiallikningaa

\frac{df}{dx}(x)=f(x), \quad f(0)=1

e^{x} er lik sin egen deriverte. Den mest generelle funksjonen som er sin egen deriverte er Ce^x, der C er ein konstant.

Ein kuriositet[endre | endre wikiteksten]

For x = e oppnår ein maksimum for funksjonen

f(x) = x^{1/x}

Meir generelt gjev verdien x = ne maksimum for funksjonen

f(x)=x^{1/{x^n}}

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

  1. Keisler, H.J. Derivatives of Exponential Functions and the Number e
  2. Keisler, H.J. General Solution of First Order Differential Equation
  3. Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston. 
  4. O'Connor, J.J., og Roberson, E.F.; The MacTutor History of Mathematics archive: "The number e"; University of St Andrews Scotland (2001)

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]