Fourier-transformasjon

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Hopp til navigering Hopp til søk

Fourier-transformasjon (ofte forkorta til FT) er ei lineæravbilding som transformerer ein funksjon av reelle variablar med komplekse verdiar til ein annan[1][2]. I applikasjonar som signalhandsaming transformerer ein typisk frå tidsplanet til frekvensplanet. Dette kan samanliknast med at ein akkord i musikk kan skildrast av notane som vert spelt. Så i praksis så dekomponerer fouriertransformasjonen ein funksjon, eller eit signal, i ein sum av oscillerande funksjonar, som kan uttrykkast som - og -funksjonar, eller som ein sum av eksponentialfunksjonar.

Fourier-transformasjon og generaliseringane er emne i Fourier-analyse. Det er mogeleg å definere Fourier-transformasjonen til ein funksjon av fleire variablar, noko som til dømes er viktig i det fysiske studiet av bølgjer og biletehandsaming. Det er òg mogleg å generalisere Fourier-transformasjonen på diskrete strukturar som endelege grupper.

Definisjon[endre | endre wikiteksten]

Det finst fleire vanlege måtar å definere fouriertransformasjonen av ein integrerbar funksjon : . Denne artikkelen nyttar definisjonen:

  for ,

where . Når variabelen representerer tid (med SI-eininga sekund), representerer transformasjonsvariabelen vinkelfrekvens, som kan konverterast til temporal frekvens (i Hz). Etter som Fourier-transformasjonen dekomponerer signalet i frekvenskomponentar , med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla analyselikninga.

Invers Fourier-transformasjon[endre | endre wikiteksten]

Invers transformasjon, som typisk transformerer frå frekvensplanet til tidsplanet, vert definert som[3]

  for alle reelle t.

Faktoren er ein skaleringskonstant, som syt for at energien er den same i tids- og frekvensplanet; sjå Parsevals teorem. Etter som den inverse Fourier-transformasjonen syntiserer eit signalet i tidsplanet, som ein sum av ulike oscillerande bølgjer (frekvenskomponentar) , med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla symteseselikninga.

Samanhengen med Laplace-transformasjonen[endre | endre wikiteksten]

Fourier-transformasjonen kan sjåast på som eit spesialtilfelle av den to-sidige Laplace-transformasjonen. Laplace-transformasjonen transformerer eit signal til det komplekse -planet, der er ein kompleks frekvensvariabel. I samband med Fourier-transfroma er realdelen sett til null. slik at ein ender ein opp med den imaginære delen av frekvensvariabelen , som ligg på den imaginære aksen i -planet. At dei ulike Fouirer-komponentane (frekvens-komponentane) ligg på den imaginære aksen betyr at dei er periodiske. Fourier-transformasjonen er med andre ord eit speialtilfelle av Laplace-transformasjonen, som vert nytta når signalet er periodiskt.

Eigenskapar[endre | endre wikiteksten]

Linearitet[endre | endre wikiteksten]

Fouriertransformasjonen er ei lineæravbilding:

Funksjonsprodukt og folding[endre | endre wikiteksten]

For produkt av funksjonar gjeld

her markerer ein foldingsoperator (konvolusjon).

Tids- og frekvensforskyving[endre | endre wikiteksten]

Derivasjon[endre | endre wikiteksten]

For deriverte av funksjonar gjeld

Referansar[endre | endre wikiteksten]

  1. Champeney, D.C., A handbook of Fourier theorems, Cambridge University Press, 1987.
  2. Bracewell, R.N., The Fourier transform and its applications, McGraw-Hill, 1986.
  3. Dyke, P.P.G., An introduction to Laplace transforms and Fourier series, Springer, 2001.