Gruppefart

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Gruppefarten til ei bølgje er farten som endringane av bølgjeamplituden forplantar seg med. Desse endringane vert òg kalla modulasjonen eller omhyllningskurva til bølgja. Gruppefarten vert definert som

v_g \ \equiv\  \frac{\partial \omega}{\partial k},

der ω er bølgja sin vinkelfrekvens, k = ω/c er bølgjetalet (c er fasefarten).

I ikkje-dispertive media forplantar alle frekvenskomponentane seg med same fart og gruppefarten er lik fasefarten, noko som er einstydande med at bølgepakken ikkje endrar form når dei forplantar seg. I dispersive media derimot varierer gruppefarten med frekvensen ω. Denne variasjonen vert uttrykkt ved dispersjonsrelasjonen v(ω), eller ω(k). I dispersive media vil difor ulike frekvenskomponentar ha ulik fart og forma på bølgjepakkane vil endra seg etter som tida går. Dette fører til at dei vert strekte ut i tid.

I samband med overføring av informasjon på digital form gjennom kabel, banar på krinskort, optisk fiber, etc. medfører dette av avstanden mellom pulsane (bølgjepakkane) må vera så stor at dei ikkje flyt saman. Dette set ei øvre grense for pulseraten, og difor òg for overføringskapasiteten. Dispersjon påverkar òg analoge signal ved at omhyllningskurva endrar form (vert forvrengt).

Ideen om at gruppefarten til ei bølgje kunne vere forskjellig frå fasefarten vart først lagt fram av William Rowan Hamilton i 1839[treng kjelde], og vart utreida meir fullstendig av John Strutt[1].

Gruppefart i kvantemekanikk[endre | endre wikiteksten]

Albert Einstein forklarte i 1905 at lys hadde eigenskapar til både partiklar og bølgjer[treng kjelde]. Louis de Broglie sette fram ein hypotese om at alle partiklar kan ha desse eigenskapane, og at farten til ein partikkel alltid vil vere lik gruppefarten til den samsvarande bølgja[treng kjelde]. De Broglie utleidde at sidan dualitetslikningane for lys allereie var kjend, så ville desse òg gjelde for alle partiklar. Dette betyr at

v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial (E/\hbar)}{\partial (p/\hbar)} = \frac{\partial E}{\partial p}

der

E er totalenergien til partikkelen
p er rørslemengd,
\hbar er Dirac-konstanten.

Ved å bruke den spesielle relativitesteorien har vi

\begin{align}
  v_g &= \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \sqrt{p^2c^2+m_0^2c^4} \right)\\
    &= \frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2+m_0^2 c^4}}\\
    &= \frac{\gamma m_0vc^2}{\sqrt{{\gamma}^2m_0^2v^2c^2+m_0^2c^4}}
    = \frac{\gamma vc}{\sqrt{{\gamma}^2v^2+c^2}}\\
    &= \frac{vc}{\sqrt{v^2+ \left( c / \gamma \right)^2}}
    = \frac{vc}{\sqrt{v^2 + \left( \sqrt{c^2 - v^2} \right)^2}}\\
    &= v.
\end{align}

der

m_0 er kvilemasse,
c er lysfarten i vakuum
\gamma er Lorentz-faktoren.
og v er farten til ein partikkel, sjølv om han ikkje skulle oppføre seg som ei bølgje.

Kvantemekanikk har med stor nøysemd vist at denne hypotesen gjeld, og forholdet har vorte vist for partiklar så store som molekyl[treng kjelde].

Referansar[endre | endre wikiteksten]

  1. Strutt, J., Theory of Sound, Macmillan, 1877

Bibliografi[endre | endre wikiteksten]

  • Brillouin, Léon. Wave Propagation and Group Velocity. Academic Press Inc., New York (1960).
  • Tipler, Paul A. and Ralph A. Llewellyn (2003). Modern Physics. 4th ed. New York; W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0. 223 p.