Hyperbolsk funksjon

Ein hyperbolsk funksjon er funksjonane sinh (sinus hyperbolicus), cosh (cosinus hyperbolicus), tanh (tangens hyperbolicus), coth (cotangens hyperbolicus), sech (secans hyperbolicus) og csch (cosecans hyperbolicus).

Her er e grunntalet i det naturlege logaritmesystemet.

Dei hyperbolske funksjonane har eigenskapar som er analoge med dei trigonometriske funksjonane. På same måte som $\sin x$ og $\cos x$ kan nyttast til å parametrisere ein sirkel, kan dei hyperbolske funksjonane $\sinh x$ og $\cosh x$ parametrisere ein hyperbel.

Standard algebraiske uttrykk

sinh, cosh og tanh

csch, sech og coth

Dei hyperbolske funksjonane er :

• Hyperbolsk sinus:

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}$

• Hyperbolsk cosinus:

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}$

• Hyperbolsk tangens:

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}$

• Hyperbolsk cotangens:

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}$

• Hyperbolsk secans:

$\operatorname {sech} \,x=\left(\cosh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}$

• Hyperbolsk cosecans:

$\operatorname {csch} \,x=\left(\sinh x\right)^{-1}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}$

Hyperbolske funksjonane kan introduserast via imaginære sirkelvinklar:

• Hyperbolsk sinus:

$\sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!$

• Hyperbolsk cosinus:

$\cosh x=\cos {\rm {i}}x\!$

• Hyperbolsk tangens:

$\tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!$

• Hyperbolsk cotangens:

$\coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!$

• Hyperbolsk sekant:

$\operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!$

• Hyperbolsk cosecant:

$\operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!$

der i er den imaginære eininga definert som i² = −1.

Dei komplekse formene i definisjonane over kjem frå Eulerformelen.

Nyttige forhold

$\sinh(-x)=-\sinh x\,\!$

$\cosh(-x)=\cosh x\,\!$

Dermed:

$\tanh(-x)=-\tanh x\,\!$

$\coth(-x)=-\coth x\,\!$

$\operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!$

$\operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!$

Ein kan sjå at cosh x og sech x er jamne funksjonar, medan dei andre er odde funksjonar.

$\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}$

$\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}$

$\operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}$

Hyperbolsk sinus og cosinus tilfredsstiller identiteten

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,$

som liknar den pythagoreiske trigonometriske identiteten. Ein har òg

$\tanh ^{2}x=1-\operatorname {sech} ^{2}x$

$\coth ^{2}x=1+\operatorname {csch} ^{2}x$

for dei andre funksjonane.

Den hyperbolske tangensen er løysinga til det ikkje-lineære grenseverdiproblemet:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad$ ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}

Det kan visast at arealet under kurva til cosh x alltid er like bogelengda:

${\text{areal}}=\int _{a}^{b}{\cosh {x}}\ dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {x}\right)^{2}}}\ dx={\text{bogelengd}}.$

Inverse funksjonar som logaritmar

$\operatorname {arsinh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

$\operatorname {arcosh} \,x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1$

$\operatorname {artanh} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};\left|x\right|<1$

$\operatorname {arcoth} \,x={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};\left|x\right|>1$

$\operatorname {arsech} \,x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1$

$\operatorname {arcsch} \,x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)$

Deriverte

${\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,$

${\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,$

${\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\hbox{sech}}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}\,x=-\coth x\ {\hbox{csch}}\,x\,$

${\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}\,x=-\tanh x\ {\hbox{sech}}\,x\,$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

Standardintegral

$\int \sinh ax\,dx=a^{-1}\cosh ax+C$

$\int \cosh ax\,dx=a^{-1}\sinh ax+C$

$\int \tanh ax\,dx=a^{-1}\ln(\cosh ax)+C$

$\int \coth ax\,dx=a^{-1}\ln(\sinh ax)+C$

$\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C$

$\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C$

$\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}$

$\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}$

$\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C$

$\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C$

Where C is the constant of integration.

Taylorrekkjer

Det er mogeleg å uttrykke funksjonane over som Taylorrekkje:

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

Funksjonen sinh x har ei Taylorrekkje med berre odde eksponentar for x. Dermed er han ein oddefunksjon, som er −sinh x = sinh(−x), og sinh 0 = 0.

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

Funksjonen cosh x har ei Taylorrekkje med berre jamne eksponentar for x. Derfor er han ein jamn funksjon, altså symmetrisk med omsyn til y-aksen. Summen av sinh- og cosh-rekkjene er ei uendeleg rekkje av eksponentialfunksjonen.

$\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\coth x=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (Laurentrekkje)

$\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (Laurentrekkje)

der

$B_{n}\,$ er det n-te Bernoullitalet

$E_{n}\,$ er det n-te Eulertalet

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Hyperbolic function» frå Wikipedia på engelsk, den 21. november 2011.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene: