Hyperbolsk funksjon

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Ein hyperbolsk funksjon er funksjonane sinh (sinus hyperbolicus), cosh (cosinus hyperbolicus), tanh (tangens hyperbolicus) og coth (cotangens hyperbolicus).

Her er e grunntalet i det naturlege logaritmesystemet.

Dei hyperbolske funksjonane har eigenskapar som er analoge med dei trigonometriske funksjonane. På same måte som og kan nyttast til å parametrisere ein sirkel, kan dei hyperbolske funksjonane og parametrisere ein hyperbel.

Standard algebraiske uttrykk[endre | endre wikiteksten]

sinh, cosh og tanh
csch, sech og coth

Dei hyperbolske funksjonane er :

  • Hyperbolsk sinus:
  • Hyperbolsk cosinus:
  • Hyperbolsk tangens:
  • Hyperbolsk cotangens:
  • Hyperbolsk sekant:
  • Hyperbolsk cosekant:

Hyperbolske funksjonane kan introduserast via imaginære sirkelvinklar:

  • Hyperbolsk sinus:
  • Hyperbolsk cosinus:
  • Hyperbolsk tangens:
  • Hyperbolsk cotangens:
  • Hyperbolsk sekant:
  • Hyperbolsk cosecant:

der i er den imaginære eininga definert som i2 = −1.

Dei komplekse formene i definisjonane over kjem frå Eulerformelen.

Nyttige forhold[endre | endre wikiteksten]

Dermed:

Ein kan sjå at cosh x og sech x er jamne funksjonar, medan dei andre er odde funksjonar.

Hyperbolsk sinus og cosinus tilfredsstiller identiteten

som liknar den pythagoreiske trigonometriske identiteten. Ein har òg

for dei andre funksjonane.

Den hyperbolske tangensen er løysinga til det ikkje-lineære grenseverdiproblemet[1]:

Det kan visast at arealet under kurva til cosh x alltid er like bogelengda:[2]

Inverse funksjonar som logaritmar[endre | endre wikiteksten]

Deriverte[endre | endre wikiteksten]

Standardintegral[endre | endre wikiteksten]

Where C is the constant of integration.

Taylorrekkjer[endre | endre wikiteksten]

Det er mogeleg å uttrykke funksjonane over som Taylorrekkje:

Funksjonen sinh x har ei Taylorrekkje med berre odde eksponentar for x. Dermed er han ein oddefunksjon, som er −sinh x = sinh(−x), og sinh 0 = 0.

Funksjonen cosh x har ei Taylorrekkje med berre jamne eksponentar for x. Derfor er han ein jamn funksjon, altså symmetrisk med omsyn til y-aksen. Summen av sinh- og cosh-rekkjene er ei uendeleg rekkje av eksponentialfunksjonen.

(Laurentrekkje)
(Laurentrekkje)

der

er det n-te Bernoullitalet
er det n-te Eulertalet

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

  1. Eric W. Weisstein. «Hyperbolic Tangent». MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicTangent.html. Henta 21. nov. 2011. 
  2. N.P., Bali (2005). Golden Intergral Calculus. Firewall Media. s. 472. ISBN 8-170-08169-6. Arkivert frå originalen.. http://books.google.com/books?id=hfi2bn2Ly4cC. , Extract of page 472

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]