Kardioide

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk
Ein kardioide skapt av ein rullande sirkel.

Kardioide er ei «hjarteforma» algebraisk kurve av 4. grad.

Likningar[endre | endre wikiteksten]

Basert på skildringa av ein rullande sirkel kring ein fast sirkel, der begge sirklane har radius a, kan kardioiden skildrast av dei parametriske likningane:

I det komplekse planet vert dette

Her er a radiusen til sirkelen som skapar kurven, og den faste sirkelen er sentrert ved origo. Punktet som skapar kurven rører den faste sirkelen ved (a, 0), toppunktet. Parameteren t kan eliminerast ved

eller i rektangulære koordinatar,


Desse likningane kan forenklast noko med å flytte den faste sirkelen til høgre a einignar og velje punktet på den rullande sirkelen slik at han rører den faste sirkelen i origo. Dette endrar orienteringa til kurven slik at toppunktet vert til venstre. Dei parametriske likningane vert då:

eller i det komplekse planet,

Med å erstatte u=tan t/2,

gjeve ei rasjonal parametrisering:

or

Denne parametriseringa kan òg skrivast

og i denne forma er det tydeleg at likninga for denne kardioiden kan skrivast i polarkoordinatar som

der θ erstattar parameteren t. Dette kan òg skrivast

som impliserer at kurven er eit medlem av familien av sinusforma spiralar.

I kartesiske koordinatar vert likninga for kardioiden

Metriske eigenskapar[endre | endre wikiteksten]

Arealet til flata til kardioden kan reknast ut frå polarlikninga:

eller 6 gonger arealet til sirkelen som skapte kurven.

Bogelengden til kardioden kan reknast ut nøyaktig, noko som er sjeldant for algebraiske kurver. Den totale lengda er

.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]