Lagrangepolynom

Lagrangepolynom innanføre numerisk analyse vert nytta til polynominterpolasjon. For ei gjeven mengde datapunkt $(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$ vil lagrangepolynomet vera polynomet av lågaste orden med verdiane $f(x_{i})=y_{i}$ for alle $i=\{0,\cdots ,n\}$.

Denne typen interpolasjon er utsett for Runges fenomen når datapunkta er likt fordelte. Då vil feilen på interpoleringa auka og faktisk divergera når ein aukar ordenen på funksjonen.

Definisjon

Gjeve ei mengde av datapunkt som ein ønskjer å interpolera:

$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{n},y_{n})$

Interpolasjonspolynomet på lagrangeform er definert som ein lineærkombinasjon av lagrangebasispolynom.

$p(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}\cdot L_{k}(x)$

Her er $L_{j}(x_{i})$ eit lagrangebasispolynom. Lagrangebasispolynomet er i røynda ein dirac delta funksjon:

$L_{k}(x_{i})=\delta _{ki}={\begin{cases}1,&{\text{if }}k=i\\0,&{\text{if }}k\neq i\end{cases}}$

Dette er så ein verdi x vert avbilda nøyaktig til $y_{k}$ i domenet. I praksis er lagrangebasispolynomet definert som:

$L_{k}(x)=\prod _{j=0,j\neq k}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}}}$

Lagrangebasispolynom

$L_{k}(x_{i})=\delta _{ki}={\begin{cases}1,&{\text{if }}k=i\\0,&{\text{if }}k\neq i\end{cases}}$

Ein ser ved litt rekning at desse eigenskapane $L_{k}(x_{i})=0$ og $L_{k}(x_{k})=1$ er oppfylte:

$L_{k}(x_{i})=\prod _{j=0,j\neq k}^{n}{\frac {x_{i}-x_{j}}{x_{k}-x_{j}}}={\frac {(x_{i}-x_{0})}{(x_{k}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x_{i}-x_{i})}{(x_{k}-x_{i})}}\cdots {\frac {(x_{i}-x_{n})}{(x_{k}-x_{n})}}=0$

Her er $L_{k}(x_{i})=0$ ettersom teljaren $(x_{i}-x_{i})$ er 0, så heile uttrykket vert 0.

$L_{k}(x_{k})=\prod _{j=0,j\neq k}^{n}{\frac {x_{k}-x_{j}}{x_{k}-x_{j}}}={\frac {(x_{k}-x_{0})}{(x_{k}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x_{k}-x_{j-1})}{(x_{k}-x_{j-1})}}{\frac {(x_{k}-x_{j+1})}{(x_{k}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x_{k}-x_{n})}{(x_{k}-x_{n})}}=1$

Teljarane i $L_{k}(x)$er definerte sånn at funksjonen gjev 0 for alle x-verdiane i datamengda utanom den særskilde verdien $x_{k}$.

Nemnarane er definerte som dei er berre for normalisering, sånn at $L_{k}(x_{k})$ skal vera 1.