Newtons metode

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Hopp til navigering Hopp til søk

Newtons metode i kalkulus, òg kjend som Newton-Raphson-metoden, er ein iterativ metode for å finna nullpunkta til ein gjeven funksjon , altså løysinga av .

Han må ikkje blandast saman med newtons metode i optimering, som baserer seg på å finna stasjonære punkt for ein gjeven funksjon .

Definisjon[endre | endre wikiteksten]

Gjeve eit startpunkt som den iterative metoden startar frå og ein funksjon ein ønskjer å finna nullpunkta til, så er newtons algoritme i kalkulus gjeven som

Her er den deriverte av . Under særskilde føresetnadar bundne av valet av startpunkt , så vil følgja konvergera mot løysinga .

I det høvet der er ein vektorvaluert funksjon, så vert dette:

er her kjend som jakobimatrisa for funksjonen .

Utleiing av definisjon[endre | endre wikiteksten]

Ein ønskjer å finna nullpunkta for ein funksjon , altså løysinga av ved ein iterativ algoritme på forma:

som vil konvergera mot løysinga gjeve eit særskilt startpunkt og eit steg . Me ønskjer i denne seksjonen å motivera steget . For eit gjeve punkt så ønskjer me å tilnærma funksjonen i punktet og analysera kva for ein for eit punkt som fører til at ein går mot eit minimum,

altså ei løysing av . Newtons metode går ut på å gjera dette og å tilnærma funksjonen i punktet ved hjelp av taylorpolynom.

For ein fleirvariabels funksjon så er taylorpolynomtilnærminga av funksjonen gjeven som:

Det vert då nytta ei førsteordens taylorpolynomtilnærming av funksjonen i punktet, som er ei rett linje og er tangent til punktet :

Me finn den -en sånn at denne tilnærminga (tangentfunksjonen) er 0. Løyser ein dette ( med omsyn på ), så får ein newtonsteget:

Newtonsteget i Newtons metode i kalkulus er altså utleitt frå ei førsteordens taylorpolynomtilnærming for funksjonen. For denne tilnærminga løyser ein med omsyn på . Ein får då punktet som minimerer tangentfunksjonen i punktet .

Ut i frå , så får me då: