Poincarés førehandstru

For kompakte todimensjonale flater utan grenser, vil kvar løkke på flata kunne trekkast saman utan å forlate flata. Flata er då topologisk homeomorfisk til ei kule. Poincarés førehandstru seier at det same gjeld for tredimensjonale rom.

Ingen av dei to løkkene på denne torusen eller smultringen kan trekkast saman til eit punkt utan å forlate flata. Ein torus er derfor ikkje homeomorfisk til ei kule.

Poincarés førehandstru er ein hypotese sett fram av den franske matematikaren Henri Poincaré i 1904. Noko upresist seier førehandstrua at ei kvar lukka flate, som er enkeltsamanhengande i rommet, kan omdannast til ei kuleflate på ein kontinuerleg måte. Det vil sei utan at ein riv flata sund og set ho saman att. At flata er enkeltsamanhengande tyder at ho er samanhengande og at alle løkker på flata kan trekkast saman til eit punkt utan å forlate flata. Eit døme på ei flate som ikkje er enkeltsamanhengande er ein smultring. Ei løkke gjennom holet og rundt smultringen, kan ikkje trekkast saman utan å skjere gjennom smulitringen og dermed forlate flata.

Poincarés førehandstru var lenge eit av dei store uløyste problema i matematikken. I 2002-2003 la den russiske matematikaren Grigorij Perelman fram eit bevis for førehandstrua. Det var så langt og komplisert at det tok fleire år før det vart endeleg verifisert av fleire høgtståande matematikarar.

Kjelder

• Poincarés formodning. (2012-01-31) I Store norske leksikon. Henta frå http://snl.no/Poincarés_formodning