Talfølgje
Ei talfølgje er ei følgje der elementa er tal. Viss alle elementa er heiltal, blir følgja kalla ei heiltalsfølgje. Døme på slike følgjer er følgja av primtal og Fibonacci-tala; slike følgjer opptrer gjerne i talteori og kombinatorikk. Meir generelt kan elementa vere reelle eller komplekse tal. Slike følgjer opptrer ofte i analyse og nærskylde felt.
Det er vanleg å skrive ei følgje ved notasjonen
Indekseringa byrjar vanlegvis anten med 0 eller 1.
Eigenskapar til følgje
[endre | endre wikiteksten]- Ei følgje er monotont veksande viss kvart element er like stort eller større enn det føregåande; det vil seie viss . Viss berre element er større enn det føregåande, kallast følgja strengt monotont voksende. Omgrepa monotont fallande og strengt monotont falane blir analogt definert.
- Ei følgje er avgrensa ovanfrå viss følgja har ein øvre skranke; det vil seie at det finst eit tal slik at for alle . Tilsvarande er ei følgje avgrensa nedanfrå viss følgja har ein nedre skranke.
- Ei følgje der annakvart element er positivt og annakvart element er negativt kallast ei alternerande følgje.
- Viss elementa til alle følgjene er like, er følgja ei konstant følgje.
- Viss følgja består av gjentakingar av ei endeleg delfølgje, blir følgja kalla periodisk.
Konvergens
[endre | endre wikiteksten]Ei følgje blir sagt å konvergere mot eit tal om tala i følgja kjem nærare og nærare ettersom indeksen aukar. Formelt definerast dette slik:
- Viss det for kvart opent intervall rundt finst eit tal slik at for alle , så konvergerer følgja mot , som kallast grenseverdien til følgja.
Alternativt kan ein seie at kvart ope intervall rundt inneheld alle unntatt ei endeleg mengd av elementa i følgja. Viss følgja er ei følgje av komplekse tal, blir omegn nytta i staden for intervall.
Eit døme på ei konvergent følgje er følgja som er definert ved at for . Grenseverdien til følgja er 0 fordi viss ein tek eit kva for eit som helst ope intervall som inneheld 0, vil alle unntatt ei endeleg mengd av elementa i følgja liggje innanfor intervallet. Ei følgje som ikkje konvergerer, blir sagt å divergere. Eit døme på ei divergent følgje er , der ; denne følgja er ikkje avgrensa og kan dermed ikkje konvergere. Eit anna døme er , der elementa er 0 og 1 annakvar gong.
Sjølv om ei følgje ikkje har nokon grenseverdi, kan han besitte opphopingspunkt. Verdien er eit opphopingspunkt for følgja viss kvart intervall som inneheld inneheld uendeleg mange element i følgja. Følgja , som vart nemnt ovanfor har to opphopingspunk, nemleg 0 og 1.
Teorien om konvergensen av uendelege følgjer er ein viktig del av grunnlaget for analyse. Blant anna er grenseverdien til funksjonar og definisjonen av derivasjon og Riemann-integralet basert på konvergens av følgjer.
Kjelder
[endre | endre wikiteksten]- Denne artikkelen bygger på «Tallfølge» frå Wikipedia på bokmål, den 11. september 2011.