Talfølgje

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Hopp til navigering Hopp til søk

Ei talfølgje er ei følgje der elementa er tal. Viss alle elementa er heiltal, blir følgja kalla ei heiltalsfølgje. Døme på slike følgjer er følgja av primtal og Fibonacci-tala; slike følgjer opptrer gjerne i talteori og kombinatorikk. Meir generelt kan elementa vere reelle eller komplekse tal. Slike følgjer opptrer ofte i analyse og nærskylde felt.

Det er vanleg å skrive ei følgje ved notasjonen

Indekseringa byrjar vanlegvis anten med 0 eller 1.

Eigenskapar til følgje[endre | endre wikiteksten]

  • Ei følgje er monotont veksande viss kvart element er like stort eller større enn det føregåande; det vil seie viss . Viss berre element er større enn det føregåande, kallast følgja strengt monotont voksende. Omgrepa monotont fallande og strengt monotont falane blir analogt definert.
  • Ei følgje er avgrensa ovanfrå viss følgja har ein øvre skranke; det vil seie at det finst eit tal slik at for alle . Tilsvarande er ei følgje avgrensa nedanfrå viss følgja har ein nedre skranke.
  • Ei følgje der annakvart element er positivt og annakvart element er negativt kallast ei alternerande følgje.
  • Viss elementa til alle følgjene er like, er følgja ei konstant følgje.
  • Viss følgja består av gjentakingar av ei endeleg delfølgje, blir følgja kalla periodisk.

Konvergens[endre | endre wikiteksten]

Ei følgje blir sagt å konvergere mot eit tal om tala i følgja kjem nærare og nærare ettersom indeksen aukar. Formelt definerast dette slik:

Viss det for kvart opent intervall rundt finst eit tal slik at for alle , så konvergerer følgja mot , som kallast grenseverdien til følgja.

Alternativt kan ein seie at kvart ope intervall rundt inneheld alle unntatt ei endeleg mengd av elementa i følgja. Viss følgja er ei følgje av komplekse tal, blir omegn nytta i staden for intervall.

Eit døme på ei konvergent følgje er følgja som er definert ved at for . Grenseverdien til følgja er 0 fordi viss ein tek eit kva for eit som helst ope intervall som inneheld 0, vil alle unntatt ei endeleg mengd av elementa i følgja liggje innanfor intervallet. Ei følgje som ikkje konvergerer, blir sagt å divergere. Eit døme på ei divergent følgje er , der ; denne følgja er ikkje avgrensa og kan dermed ikkje konvergere. Eit anna døme er , der elementa er 0 og 1 annakvar gong.

Sjølv om ei følgje ikkje har nokon grenseverdi, kan han besitte opphopingspunkt. Verdien er eit opphopingspunkt for følgja viss kvart intervall som inneheld inneheld uendeleg mange element i følgja. Følgja , som vart nemnt ovanfor har to opphopingspunk, nemleg 0 og 1.

Teorien om konvergensen av uendelege følgjer er ein viktig del av grunnlaget for analyse. Blant anna er grenseverdien til funksjonar og definisjonen av derivasjon og Riemann-integralet basert på konvergens av følgjer.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]