Tilknytt legendre-funksjon

Ein tilknytt legendre-funksjon er i matematikk ei kanonisk løysing av den generelle legendre-likninga

$(1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,$

eller

$([1-x^{2}]\,y')'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,$

der indeksane $\ell$ og m (som generelt er komplekse storleikar) vert kalla graden og ordenen til den tilknytte legendre-funksjonen. Denne likninga har løysingar som er ikkje-singulære på [−1, 1] berre visst $\ell \,$ og m er heiltal med 0 ≤ m ≤ $\ell$, eller med trivielle ekvivalente negative verdiar. Når m i tillegg er eit liketal, er funksjonen eit polynom. Når m er null og $\ell \,$ eit heiltal er desse funksjonane identiske til legendre-polynom.

Denne ordinære differensiallikninga er ofte nytta i fysikk og andre tekniske felt. Særleg dukkar han opp i løysinga av laplace-likninga (og tilknytte partielle differensiallikningar) i sfæriske koordinatar.

Dei første tilknytte legendre-polynoma

Dei første tilknytte legendre-polynoma, inkludert dei for negative verdiar av m, er:

$P_{0}^{0}(x)=1$

$P_{1}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}P_{1}^{1}(x)$

$P_{1}^{0}(x)=x$

$P_{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{2}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}P_{2}^{2}(x)$

$P_{2}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}P_{2}^{1}(x)$

$P_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)$

$P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})$

$P_{3}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}P_{3}^{3}(x)$

$P_{3}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}P_{3}^{2}(x)$

$P_{3}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{12}}\end{matrix}}P_{3}^{1}(x)$

$P_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)$

$P_{3}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})$

$P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}$

$P_{4}^{-4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{40320}}\end{matrix}}P_{4}^{4}(x)$

$P_{4}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{5040}}\end{matrix}}P_{4}^{3}(x)$

$P_{4}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{360}}\end{matrix}}P_{4}^{2}(x)$

$P_{4}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{20}}\end{matrix}}P_{4}^{1}(x)$

$P_{4}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)$

$P_{4}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{4}^{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})$

$P_{4}^{3}(x)=-105x(1-x^{2})^{3/2}$

$P_{4}^{4}(x)=105(1-x^{2})^{2}$

Gjentakingsformel

Desse funksjonane har fleire gjentakande eigenskapar:

$(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$

$2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]$

$P_{\ell +1}^{m}(x)=P_{\ell -1}^{m}(x)-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)$

${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$

$(x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$

$(x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)$

$(x^{2}-1){P_{\ell }^{m}}'(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)$

Nyttige identitetar (initialverdiar for den første repetisjonen):

$P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{l}(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(l/2)}$

$P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)$

med !! som dobbelfaktor.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Associated Legendre function» frå Wikipedia på engelsk, den 1. desember 2009.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:
  • Arfken G.B., Weber H.J., Mathematical methods for physicists, (2001) Academic Press, ISBN 0-12-059825-6 See Section 12.5. (Uses a different sign convention.)
  • A.R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, (1957) Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 See chapter 2.
  • E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge, England: The University Press. See chapter 3
  • F. B. Hildebrand, Advanced Calculus for Applications, (1976) Prentice Hall, ISBN 0-13-011189-9
  • Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials, Mathematical tables series Vol. 18, Pergamon Press, 379p.

Bakgrunnsstoff

• Legendre-polynom på MathWorld