Transferfunksjon

Transferfunksjon, systemfunksjonen eller overføringsfunksjon definerer eit kontinuerleg lineært system i s-planet, eller eit diskret lineært system z-planet. Både s- og z-planet er synonyme med frekvensplanet, der frekvensen generelt er kompleks, slik at han òg modellerer demping. Føremonen med å arbeida med transferfunksjonar og signal i $s$-planet eller $z$-planet er at mange matematiske operasjonar er enklare i $s$-planet og $z$-planet enn i tidsplanet. Transferfunksjonar spelar ei viktig rolle i samband med signalhandsaming, reguleringsteknikk, telekommunikasjon, elektroakustikk, elektronikk, osb.

Kontinuerleg system

Samanhengen mellom impulsrespons og transferfunksjon, for eit tidskontinuerleg system.

Transferfunksjonen til eit tids-kontinuerleg SISO-system er generelt ein rasjonal funksjon av forma

$H(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\{y(t)\}}{{\mathcal {L}}\{u(t)\}}}={\frac {B(s)}{A(s)}}$

$={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}+b_{2}s^{-2}++b_{3}s^{-3}+\cdots +b_{M}s^{-M}}{1+a_{1}s^{-1}+a_{2}s^{-2}+a_{3}s^{-3}+\cdots +a_{N}s^{-N}}}$

$={\frac {\sum _{i=0}^{M}b_{i}s^{-i}}{1+\sum _{j=1}^{N}a_{j}s^{-j}}},$

der $Y(s)={\mathcal {L}}\{y(t)\}$ er Laplace-transforma til utgangssignalet $y(t)$ og $U(s)={\mathcal {L}}\{u(t)\}$ er Laplace-transforma til inngangssignalet $u(t)$. Når transferfunksjonen er kjend kan vi finna utgangssignalet som produktet av transferfunksjonen og Laplace-transforma av inngangssignalet:

$Y(s)=H(s)U(s).$

I tidsplanet finn ein utgangssignalet som foldinga av impulsresponsen $h(t)$ og inngangssignalet $u(t)$:

$y(t)=h(t)*u(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)u(t-\tau )d\tau .$

Multiplikasjon er ein enklare operasjon enn folding, så det er som oftast lettare å arbeida med transferfunksjonar enn med impulsresponsar og signal i tidsplanet.

Polar og nullpunkt

Om vi faktoriserer tellar- og nevnar-polynomena $B(s)$ respektivt $A(s)$ får vi $H(s)$ på forma:

$H(s)=b_{0}{\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})\cdots (s-z_{M})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots (s-p_{N})}}s^{N-M}=b_{0}{\frac {\prod _{i=1}^{M}(s-z_{i})}{\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}s^{N-M}.$

Når $s$ er lik en av røtene til tellarpolynomet ($s=z_{i})$ ser vi at $H(s)=0$. Dei $M$ komplekse verdiene $z_{i}$, som resulterer i at $H(s)$ blir lik null, blir difor kalla «nullpunkta» til transferfunksjonen $H(s)$. Tilsvarende ser vi at når $s$ er lik en av røtene til nevnerpolynomet (når $s=p_{i})$ går verdien til $H(s)$ mot $\infty$. Røtene til nevnarpolynomet blir kalla «polane» til transferfunksjonen. Transferfunksjonen $H(s)$ er fullstendig bestemt av polene og nullpunktene, saman med konstanten $b_{0}$.

Diskret system

Samanhengen mellom impulsrespons og transferfunksjon, for eit tidsdiskret system.

Transferfunksjonen til eit tids-diskret LTI-system SISO-system har forma

$H(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y(n)\}}{{\mathcal {Z}}\{u(n)\}}}={\frac {B(z)}{A(z)}},$

$={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}++b_{3}z^{-3}+\cdots +b_{M}z^{-M}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+a_{3}z^{-3}+\cdots +a_{N}z^{-N}}}$

$={\frac {\sum _{i=0}^{M}b_{i}z^{-i}}{1+\sum _{j=1}^{N}a_{j}z^{-j}}},$

der $Y(z)={\mathcal {Z}}\{y(n)\}$ er Z-transformasjonen til utgangssekvensen $y(n)$ og $U(z)={\mathcal {Z}}\{u(n)\}$ er Z-transformasjonen til inngangssekvensen $u(n)$ (Med sekvens meiner ein sampla signal). Når transferfunksjonen er kjend kan vi finna utgangssignalet som produktet av transferfunksjonen og Z-transforma av inngangssekvensen:

$Y(z)=H(z)U(z).$

I tidsplanet finn ein utgangssekvensen som foldinga av impulsresponsen $h(n)$ og inngangssignalet $u(n)$:

$y(n)=h(n)*u(n)=\Sigma _{m=-\infty }^{\infty }h(m)u(n-m).$

Føremonen med å arbeida i $z$-planet er den same som for $s$-planet, at matematiske operasjonar er enklare enn i tidsplanet.

Polar og nullpunkt

Om vi faktoriserer tellar- og nevnar-polynomena $B(z)$ respektivt $A(z)$ får vi $H(z)$ på forma:

$H(z)=b_{0}{\frac {(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{M})}{(z-p_{1})(z-p_{2})\cdots (z-p_{N})}}z^{N-M}=b_{0}{\frac {\prod _{i=1}^{M}(z-z_{i})}{\prod _{i=1}^{N}(z-p_{i})}}z^{N-M}.$

Når $z$ er lik en av røtene til tellarpolynomet ($z=z_{i})$ ser vi at $H(z)=0$. Dei $M$ komplekse verdiene $z_{i}$, som resulterer i at $H(z)$ blir lik null, blir difor kalla «nullpunkta» til transferfunksjonen $H(z)$. Tilsvarende ser vi at når $z$ er lik en av røtene til nevnerpolynomet (når $z=p_{i})$ går verdien til $H(z)$ mot $\infty$. Røtene til nevnarpolynomet blir kalla «polane» til transferfunksjonen. Transferfunksjonen $H(z)$ er fullstendig bestemt av polene og nullpunktene, saman med konstanten $b_{0}$.

Sjå òg

• Impulsrespons
• s-planet
• z-planet
• Laplace-transformasjon
• Z-transformasjon