Z-transformasjon

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Hopp til navigering Hopp til søk

Z-transformasjonen (frå engelsk Z-transform) er ei lineæravbilding som konverterer tidsdiskrete signal (ein sekvens av relle eller komplekse tal) over til ein frekvensdomenerepresentasjonkompleks form gjeven i eit domene kalla Z-domenet. Z-transformasjonen opnar opp for å gjere analyse av ei større mengde av signal enn det fouriertransformasjonen er i stand til ettersom fourierdomenet er ei delmengde av Z-domenet.

Den tidskontinuerlege varianten av Z-transformasjonen er kjend som Laplace-transformasjonen.

Innanføre signalhandsaming gjev han eit matematisk grunnlag for analyse og design av digitale filter. Transferfunksjonen og difor òg frekvensresponsen til tidsdiskrete system/filter kan uttrykkjast på fleire måtar ved hjelp av Z-transformasjonen, som rasjonale transferfunksjonar, på pol-nullpunktform, tilstandsromform, etc.

Definisjon[endre | endre wikiteksten]

Z-transformasjonen av eit tidsdiskret signal x[n] med intervall er definert som

der er eit heiltal og er eit komplekst tal, der er distansen frå origo, er vinkelfrekvensen og er sampelintervallet. Det særskilde høvet for når vert kalla diskret fouriertransform (DFT).

Motivering[endre | endre wikiteksten]

Z-transformasjonen er nært relatert til fouriertransformasjonen. Under særskilde føresetnadar kan ein motivere Z-transformasjonen ut av fouriertransformasjonen, samstundes som ein òg kan vise at fourierdomenet er ei delmengde av Z-domenet.

Fouriertransformasjonen for eit tidsdiskret signal x[n] er definert som

,

gjeve at signalet x[n] er absolutt summerbart

.

Mange signal oppfyller ikkje dette kravet og då eksisterer ikkje fouriertransformasjonen for signalet. Til dømes er det ikkje mogleg å analysere ustabile LTI system med fouriertransformasjonen ettersom impulsresponsen for ustabile LTI system ikkje oppfyller kravet ovanføre om absolutt summerbarhet av signalet.

Ei løysing for at inngangssignalet skal oppfylle det ovannemnde kravet er at inngangssignalet x[n] vert muliplisert med noko så det konvergerer mot ein verdi. Meir presist, at . Då vil kravet om absolutt summerbarhet av signalet vere oppfyllt for særskilde verdiar for . Med andre ord vert transformasjonen definert til å vere;

Om ein nå definerer at er eit komplekst tal, vert dette sjølve definisjonen av Z-transformasjonen.

Eigenskapar[endre | endre wikiteksten]

  • Tidsforskyving av eit signal med med steg er det same som å multiplisere Z-transformasjonen med .
  • Konvolusjon. Z-transformasjonen av konvolusjonen av to signal er produkta av dei to individuelle Z-transformasjonane.
  • Derivering.

Z-domenet[endre | endre wikiteksten]

Z-domenet er domenet til Z-transformasjonen, med andre ord rommet som Z-transformasjonen avbildar til. Det vert nytta til både analyse av signal og filter.

Polar og nullpunkt vert nytta når ein skal designa eit filter i Z-domenet. Polar hever fram magnituderesponsen til filteret/systemet medan nullpunkt undertrykkjer magnituderesponsen. Ein plasserer eit nullpunkt (zero) på einingssirkelen på vinkelen som svarer til frekvensen for å undertrykkje frekvensen. For å heva fram frekvensar må ein plassere ein pol inni einingssirkelen nær frekvensen ein skal heva fram.

Nullpunkt[endre | endre wikiteksten]

Mengda av alle verdiar for z som gjer at summen vert 0 er kjend som nullpunkt i Z-domenet.

Polar[endre | endre wikiteksten]

Mengda av alle verdiane for z som gjer at summen vert uendeleg er kjend som polar (frå engelsk; «Poles»).

Kvar pol og kvart nullpunkt må ha ein tilsvarande komplekskonjugert om systemet skal vera reelt.

ROC[endre | endre wikiteksten]

ROC er mengda med ikkje-uendelege verdiar z i det komplekse planet. Inputsignalet til eit system/filter vil berre konvergere og såleis vera definert for særskilde verdiar for når . Summen må gå mot eit tal «raskt nok» skal det konvergera, og «raskt nok» er avgjort av parameteren , eller meir presist z.

Det er ein unik korrespondans mellom ein sekvens og z-transformen av han, om ROC vert medrekna.

ROC vert nytta i analysen av både signal og filter. Antikausale signal har ROC som går frå ytste pol og inn til origo. Kausale signal har komplementet av dette området som inneheld endeløysa. Om signalet både har ein kausal del og ein antikausal del så er ROC snittet av ROC-ane for kvar av delane, altså eit tynt belte som går kring origo.

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]