Fraksjonskropp

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Fraksjonskroppen eller brøkkroppen til ein heiltalsring R er den minste kroppen som har R som ein underring. Til dømes er kroppen \mathbb{Q} av rasjonelle tal brøkkroppen til heiltalsringen \mathbb{Z} av heiltal; me skriv \mathbb{Q} = \frac{\mathbb{Z}}{\mathbb{Z} - \{0\}} = \{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{Z} - \{0\}\} .

Konstruksjonen av ein fraksjonskropp[endre | endre wikiteksten]

La R vera ein kommutativ ring med additiv identitet 0. Då er mengda S = R - \{0\} multiplikativt lukka. Me definerer ein ekvivalensrelasjon ~R \times S slik at :(a,s) ~ (b,t) dersom og berre dersom at=bs. Vidare let me \frac{a}{s} vera ekvivalensklassa til (a,s). Då er K=\{\frac{a}{s}:a\in R, b\in S\} fraksjonskroppen til R, med operasjonane

\frac{a}{s} + \frac{b}{t} = \frac{at+bs}{st} og
\frac{a}{s} \cdot \frac{b}{t} = \frac{ab}{st}

og nullelement 0/1 og multiplikativ identitet 1/1.