Ikkje-lineært system

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Eit ikkje-lineært system er i matematikk eit system som ikkje er lineært, altså eit system som ikkje oppfyller superponeringsprinsippet, eller eit system der utdata ikkje er proporsjonal med inndata. Mindre teknisk sagt er eit ikkje-lineært system problemstillingar der variabelen eller variablane som skal løysast ikkje kan skrivast som ein lineær kombinasjon av sjølvstendige komponentar. Eit ikkje-homogent system, som er lineært bortsett frå at ein har ein funkasjon av sjølvstendige variablar, er ikkje-lineært i følgje den strenge definisjonen, men slike system vert vanlegvis studert i lag med lineære system, sidan dei kan transformerast til lineære system med fleire variablar.

Ikkje-lineære problemstillingar er til interesse for fysikarar og matematikarar, sidan dei fleste fysiske system i seg sjølv er ikkje-lineære. Ikkje-lineære likningar er vanskelege å løyse og er opphav til interessante fenomen som kaos. Vêret er kjend for å vere ikkje-lineært, og berre små endringar i ein liten del av systemet kan skape kompliserte effektar gjennom heile systemet.

Definisjon[endre | endre wikiteksten]

I matematikk er ein lineær funksjon f(x) ein som oppfyller følgjande krav:

  • additivitet, \textstyle f(x + y)\ = f(x)\ + f(y);
  • homogeneitet, \textstyle f(\alpha x)\ = \alpha f(x).

(Additivitet impliserer homgenitet for alle rasjonale α, og for kontinuerlege funksjonar for alle reelle α. For eit komplekst α følgjer ikkje homgenitet direkte av addivitet.

Ei likning skrive som

f(x) = C\,

vert kalla lineær om f(x) er ein lineær funksjon (som definert over) og ikkje-lineær elles. Likninga vert kalla homogen om C = 0.

Definisjonen f(x) = C er særs generell sidan x kan vere kva matematisk objekt som helst (tal, vektor, funksjon osv.) og funksjonen f(x) kan bokstavleg talt vere alle typar funksjonar, inkludert integrasjon eller differensiering med tilknytte vilkår (som til dømes grensevilkår). Om f(x) inneheld differensiering av x, vil resultatet bli ei differensiallikning.

Ikkje-lineære algebraiske likningar[endre | endre wikiteksten]

Generelt kan ikkje-lineære algebraiske problem ofte løysast nøyaktig, og om dei ikkje kan det, så kan dei likevel ofte bli godt forstått gjennom kvalitative eller numeriske analysar. Ta til dømes likninga

x^2 + x - 1 = 0\,

som kan skrivast som

f(x) = C \quad \mbox{where} \quad f(x) = x^2 + x \quad \mbox{and} \quad C = 1\,

og er ikkje-lineær fordi f(x) ikkje oppfyller kravet om additivitet eller homogenitet. (ikkje-lineariteten kjem av x^2). Sjølv om han er ikkje-lineær, kan denne likninga løysast nøyaktig (med hjelp av andregradslikning) og er godt forstått. På den andre sida har ikkje den ikkje-lineære likninga

x^5 - x - 1 = 0\,

eit nøyaktig svar (sjå kvintisk likning), men kan analyserast kvalitativt og er godt forstått, til dømes gjennom å lage ein grav og undersøke røtene til f(x) - C = 0.

Ikkje-lineær rekursjonsforhold[endre | endre wikiteksten]

Eit ikkje-lineært rekursjonsforhold definerer ledd som følgjer etter kvarandre i ein sekvens som ein ikkje-lineær funksjon av dei føregåande ledda. Døme på slike er logistisk likning og forhold som definerer forskjellige Hofstadtersekvensar.

Ikkje-lineære differnesiallikningar[endre | endre wikiteksten]

Eit system av differensiallikningar er sagt å vere ikkje-lineært om det er ikkje er eit lineært system. Problemstillingar som omfattar ikkje-lineære differensiallikningar er særs varierte og metodane og analysane for å løyse dei er avhengige av problemet som skal løysast. Døme på slike likingar er Navier–Stokes-likningane i væskedynamikk, Lotka–Volterra-likingar i biologi og Black–Scholes-likningane i finans.

Ein av dei største vanskane med ikkje-lineære problem er at det genrelt ikkje er mogeleg å kombinere kjende løysingar inn i nye løysingar. I lineære problem, som tildømes ei gruppe lineært sjølvstendige løysingar, kan løysingane nyttast til å skape generelle løysingar ved hjelp av superponeringsprinsippet. Eit godt døme på dette er den ein-dimensjonale varmetransporte med Dirichlet sine grensevilkår, der løysinga kan skrivast som ein tidsavhengig lineær kombinasjon av sinuskurvar med forskjellige frekvensar. Dette gjer løysinga særs fleksibel. Det er ofte mogeleg å finne fleire særs spefikke løysingar til ikkje-lineære likningar, men sidan superponeringsprinsippet ikkje kan nyttast, kan ein ikkje finne nye løysingar.

Former for ikkje-lineær oppførsel[endre | endre wikiteksten]

  • Ubestemtheit - ein kan ikkje føresjå oppførselen til systemet
  • Multistabilitet - systemet skiftar mellom to eller fleire spesielle tilstandar.
  • Aperiodiske svingingar - funksjonar som ikkje repeterer verdiar etter ein periode (òg kjend som kaotiske svingningar eller kaos)

Døme på ikkje-lineære likningar[endre | endre wikiteksten]

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]