Brøk

Ein brøk er ein måte å representere eit tal på ved hjelp av divisjon. Talet over brøkstreken blir kalla teljar, og talet under brøkstreken vert kalla nemnar. Nemnaren må vere ulik frå null. Dersom teljar er større enn nemner kallast brøken uekte, elles blir han kalla ekte. Ein brøk der teljar og nemnar er heiltal kallast eit rasjonalt tal.

Ein brøk representerer det eksakte talet ein får ved å dividere teljaren med nemnaren. Dømet med ${\tfrac {2}{3}}$ representerer dermed 2 : 3, som uttrykt med desimalbrøk er ca. 0,6667. Dette talet kan faktisk ikkje skrivast heilt nøyaktig som desimaltal, så ein brøk kan vere nyttig viss ein ynskjer å berekne noko heilt nøyaktig.

I algebraen opererer ein òg med brøkar der teljar og/eller nemnar er bokstavuttrykk. Desse blir kalla rasjonale uttrykk.

• Ein stambrøk er ein brøk med teljar lik 1, til dømes ${\tfrac {1}{7}}$.

Ekte og uekte brøkar

Ein skil ofte mellom ekte og uekte brøkar, der ekte brøkar alltid representerer eit tal som er (numerisk) mindre enn 1, t.d. ${\frac {2}{3}}$. Viss teljaren er større enn nemnaren, representerer brøken eit tal som er større enn 1, og då er det snakk om ein uekte brøk.

Uekte brøkar kan òg skrivast som eit såkalla blanda tal. Til dømes er ${\frac {3}{2}}=1+{\frac {1}{2}}$, og som blanda tal skrivast denne brøken som $1{\frac {1}{2}}$.

Samanlikning av brøkar

Når ein skal samanlikne brøkar, treng ein ein minste felles nemnar. Dermed kan ein berre samanlikne teljarane for å avgjere om brøkane er like, eller kva for ein som er størst og minst. Dette kan ein oppnå ved utviding eller forkorting av brøkane.

Utviding

Utviding er den mest nyttige metoden til å skaffe felles nemner. Ved å multiplisere («gange») teljaren a og nemnaren b med éit og same tal, får ein ein «ny» brøk, som representerer same tal som den opphavlege brøken. Matematisk kan ein skrive det slik:

${\frac {a}{b}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot c}}$

Ein seier då at brøken ${\frac {a}{b}}$ er blitt utvida med talet c. I eksemplet under utvidar ein brøken ${\frac {2}{5}}$ med 3: For å skulle bruke utviding i samanlegging av brøkar må vi finne minste felles multiplum- det vil seie det minste talet som er deleleg med alle nemnarane i det aktuelle tilfellet. Så utvidar ein brøkane slik at begge får ein nemner lik dette.

${\frac {2}{5}}={\frac {2\cdot 3}{5\cdot 3}}={\frac {6}{15}}$

Legg merke til at ${\frac {2}{5}}$ og ${\frac {6}{15}}$ begge representerer det same talet, nemleg 0,4.

Forkorting

Viss ein kan finne eit tal. c som er deleleg på både teljar og nemnar (dvs. begge tal kan delast med c utan at der blir ein rest) kallar ein dette for nemnarane sine største felles divisor. Ein kan då dividere teljaren og nemnaren med dette talet og få ein ny brøk som stadig representerer same tal som den opphavlege brøken. Dette blir kalla å forkorte ein brøk, og matematisk kan det skrivast slik:

${\frac {a}{b}}={\frac {a:c}{b:c}}$

Brøken ${\frac {a}{b}}$ vert sagt å vere forkorta med talet c. I dømet under blir brøken ${\frac {6}{8}}$ forkorta med 2:

${\frac {6}{8}}={\frac {6:2}{8:2}}={\frac {3}{4}}$

Igjen ser ein at både den opphavlege brøken og resultatet av forkortinga representerer same tal, her 0,75.

Reknereglar for brøk

Der finst ei mengd rekneregler som gjer det mogleg å regne med brøkar slik at ein held den nøyaktige representasjonen av tala.

Addisjon og subtraksjon

Viss dei to brøkane har same nemner, kan ein utan vidare leggje dei saman eller trekkje dei frå kvarandre ved å addere eller subtrahere teljarane, og verne nemnaren. Matematisk blir dette skrive slik:

${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$ hhv. ${\frac {a}{c}}-{\frac {b}{c}}={\frac {a-b}{c}}$

I dømet under vert bereknast summen av ${\frac {1}{5}}$ og ${\frac {3}{5}}$:

${\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}={\frac {1+3}{5}}={\frac {4}{5}}$

Etter addisjonen (subtraksjonen) kan det hende at den brøken ein får til svar kan forkortast.

Viss brøkane har ulike nemnarar blir det naudsynt å utvide den eine eller begge brøkane slik at dei får like nemnarar - brøkane representerer framleis dei same tala sjølv om ein utvidar eller forkortar dei. Deretter kan dei adderast eller blir subtrahert som nemnt over.

Ein kan bruke produktet av dei to nemnarane som blir felles nemnar:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot d}}+{\frac {c\cdot b}{d\cdot b}}={\frac {a\cdot d+c\cdot b}{b\cdot d}}$

Legg merke til at den første brøken vert utvida med nemnaren til den siste, og den siste brøken vert utvida med nemnaren til den første. Dermed blir nemnarane b · d og d · b, som jo er like.

I dømet under vert brøkane addert ${\frac {1}{2}}$ og ${\frac {1}{3}}$:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}={\frac {3}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {5}{6}}$

I det siste dømet blir to brøkar subtrahert. Som fellesnemnar blir her eit tal valt som er mindre enn produktet av dei opphavlege nemnarane, men likevel blir det til slutt mogleg å forkorte brøken:

${\frac {5}{6}}-{\frac {1}{10}}={\frac {5\cdot 5}{6\cdot 5}}-{\frac {1\cdot 3}{10\cdot 3}}={\frac {25}{30}}-{\frac {3}{30}}={\frac {22}{30}}={\frac {11}{15}}$

Multiplikasjon

Ein multipliserer («gonger») to brøkar med kvarandre ved å multiplisere teljarane for seg og nemnarane for seg:

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}$

Resultatet etter multiplikasjonen kan kanskje forkortast.

I dette dømet vert brøkane multiplisert ${\frac {3}{5}}$ og ${\frac {1}{4}}$:

${\frac {3}{5}}\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {3\cdot 1}{5\cdot 4}}={\frac {3}{20}}$

Resiproke brøkar

Ein finn den resiproke til ein brøk ved ganske enkelt at bytte om på teljaren og nemnaren til brøken:

${\frac {1}{\frac {a}{b}}}={\frac {b}{a}}$

Til dømes er den resiproke brøken til ${\frac {3}{4}}$ lik ${\frac {4}{3}}$. Denne uekte brøken kan elles skrivast som eit blanda tal: $1{\frac {1}{3}}$.

Divisjon

Generelt gjeld at ein kan dividere to tal ved at multiplisere dividenden med det resiproke talet til divisoren, altså $a:b=a\cdot {\frac {1}{b}}$. Dette kan òg nyttast til divisjon av brøker, der utrekninga ser slik ut:

${\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

Skal ein til dømes dividere ${\frac {4}{5}}$ med ${\frac {2}{3}}$, foregår det på denne måten:

${\frac {4}{5}}:{\frac {2}{3}}={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {1}{\frac {2}{3}}}={\frac {4}{5}}\cdot {\frac {3}{2}}={\frac {12}{10}}$

Denne uekte brøken kan forkortast til ${\frac {6}{5}}$. og skrivast som eit blanda tal: $1{\frac {1}{5}}$.

Broten brøk

Ein brøk der teljar og/eller nemnar sjølv er ein brøk vert kalla ein broten brøk. I døme nedanfor kallast ${\frac {a}{b}}$ og ${\frac {c}{d}}$ for småbrøkar, a og c for småteljarar og b og d for «smånevnere». Brøken kan omreknast ved å omgjere hovudbrøkstreken til divisjonstegn og bruke framgangsmåten for divisjon av brøker.

${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}$

Røter og potensar

Ein kan trekke n-te-rota av ein brøk ved å trekke den same rota av både teljar og nemnar:

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

Til dømes kan ein ta kvadratroten (n = 2) av ${\frac {9}{16}}$ slik:

${\sqrt {\frac {9}{16}}}={\frac {\sqrt {9}}{\sqrt {16}}}={\frac {3}{4}}$

Tilsvarande gjeld for den n-te potensen av ein brøk:

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

Logaritmar

Då ein brøk eigentleg er ein divisjon, gjeld logaritmereknereglen for divisjon òg for ein brøk. Altså er:

$\log {\frac {a}{b}}=\log a-\log b$

Brøk som eksponent

Viss ein brøk opptrer som eksponenten i ein potens (med positivt grunntal), kan uttrykkast omskrivast til ei rot etter følgjande prinsipp:

$10^{\frac {3}{5}}=\left({\sqrt[{5}]{10}}\right)^{3}$ eller $10^{\frac {3}{5}}={\sqrt[{5}]{10^{3}}}={\sqrt[{5}]{1000}}$

Desimaltal, prosent og promille

Eit desimaltal (tidlegare kalla desimalbrøk) er ein alternativ måte å skrive ein brøk på under føresetnad av at nemnaren er eit dekadisk tal (1 med ei visst mengd nullar bak, til dømes 10, 100, 1 000. I eitt desimaltal nyttar ein posisjonane etter komma i vårt titalssystem kalla desimalar:

Brøken ${\frac {7}{10}},{\frac {3}{100}},{\frac {37}{1000}}$ kan skrivast på forma 0,7; 0,03 eller 0,037.

Periodiske desimaltal

Òg periodiske desimaltal er rasjonale tal og kan skrivast på brøkform:

$12,\!123123...=12+0,\!123123...=12+{\frac {123}{999}}=12{\frac {41}{333}}$

(sett a = 0,123123... så er 1 000a (= 123,123123... = 123 + 0,123123...) = 123 + a).

Prosent og promille

Prosent og promille er ein annan måte å uttrykke desimalbrøk på: «Prosent» er hundredelar, og ordet tyder direkte omsett «per hundre». Dermed er 20% = ${\frac {20}{100}}$. Tilsvarande tyder «promille» direkte omsett «per tusen», og 3 ‰ er det same som ${\frac {3}{1000}}$.

For særs små deler - til dømes i samband med forureining og miljøgiftar - nyttast tilsvarande ppm («parts per million») for milliondelar og ppb («parts per billion») for milliarddelar. («Billion» er den engelske namnet for det som på norsk heiter «milliard», medan ein «norsk» billion er 1000 milliardar.)

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Brøk» frå Wikipedia på bokmål, den 14. september 2011.

Bakgrunnsstoff

• Brøk - matematikk.net
• Brøk og brøkrekning
• Hva er en brøk? - matematikk.org