Dobbeltforhold

Dobbeltforhold eller kryssforhold i matematikk er forholdet mellom to punktpar (A, B og C, D) på ei rett linje, der ein tar omsyn til retninga til linjestykka. Om forholdet er lik -1 ligg punkta harmonisk. I projektiv geometri er dobbeltforholdet særs viktig, sidan det blir uforandra ved projeksjon, slik at ein bevarer eigenskapar ved punktrekkjer som vert uttrykt ved forholdet. Òg mellom fire linjer gjennom same punkt eksisterer det eit dobbeltforhold, nemleg for dei fire punkta som oppstår når ei rett linje skjer over dei gjevne. Dette dobbeltforholdet er uavhengig av plasseringa til skjeringslinja.

Definisjon

Dobbeltforholdet til fire punkt på ei reell linje med koordinatar z₁, z₂, z₃, z₄ er gjeven som

$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}.$

Det kan òg skrivast som eit dobbeltforhold med to divisjonsforhold:

$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}.$

Den same formelen kan nyttast på fire forskjellige komplekse tal, eller meir generelt til element i alle flater.

I geometri, om A, B, C og D er kollineære punkt, så er dobbeltforholdet definert på liknande vis som:

$(A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}.$

der kvar av avstandane har forteikn etter ei fast orientering på linja.

Kjelder

• Delar av denne artikkelen bygger på «Cross-ratio» frå Wikipedia på engelsk, den 8. november 2011.

• dobbeltforhold. (2011-11-08) I Store norske leksikon. Henta frå http://snl.no/dobbeltforhold