Komplekse tal

Dei komplekse tala er den algebraiske lukkinga av dei reelle tala og kan uttykkast som mengda av alle $z=x+iy$ , kor $x$ og $y$ er reelle tal og $i$ er definert slik at $i^{2}=-1$ . $\mathbb {C}$ er ein kropp under naturleg addisjon og multiplikasjon.

La $z=x+iy$ kor $x,y\in \mathbb {R}$ . $\operatorname {Re} {z}=x$ er den reelle delen av $z$ og $\operatorname {Im} {z}=y$ er den imaginære delen av $z$ .

Definisjon og konstruksjon

Dei komplekse tala kan definerast og konstruerast på fleire måtar. Me definerer fyrst eksplisitt $\mathbb {C} =\{x+iy|x,y\in \mathbb {R} \}$ , kor $i^{2}=-1$ . Det er ikkje vanskeleg å sjå at dette utgjer ein kropp, kor den additive inversen til $x+iy$ er gitt ved $x-iy$ og den multiplikative inversen til $x+iy$ (gitt at ikkje både $x,y=0$ ) er gitt ved

(x+iy)^{-1}=1/(x+iy)=(x-iy)/(x^{2}+y^{2})

At addisjon og multiplikasjon er assosiative operasjoner og distribuerar over kvarandre følgjer frå at addisjon og multiplikasjon av dei reelle tala har desse eigenskapene. Me har dermed vist at $\mathbb {C}$ utgjer ein kropp ut frå denne definisjonen.

Det er også mogleg å konstruera dei komplekse tala frå polynomringen $\mathbb {R} [x]$ til $\mathbb {R}$ . Merk fyrst at polynomet $x^{2}+1$ er irredusibelt over dei reelle tala. Dermed utgjer kvotientringen $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ ein kropp, kor $I=(x^{2}+1)$ er idealet generert av $x^{2}+1$ . Multiplikasjon og addisjon i $\mathbb {C}$ er arva frå multiplikasjon og addisjon i $\mathbb {R} [x]$ . $\mathbb {C}$ består av element på formen $a+bx+I$ kor $x^{2}=-1$ og $a,b\in \mathbb {R}$ .

Sjå også