Eulerlikningane

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Eulerlikningane styrer rørsla til ei kompressibel og ikkje-viskøs væske i væskedynamikken. Likningane er ei enklare form av Navier-Stokeslikningane med null viskositet og varmekonduksjon, men vert vanlegvis skrive slik som her, fordi dei direkte representerer bevaring av masse, rørslemengd og energi. Likningane har fått namn etter Leonhard Euler. I denne artikkelen tenkjer vi oss at den klassiske mekanikken gjeld, sjå relativistiske Eulerlikningar for ein diskusjon av kompressible væsker når farten nærmar seg lysfarten.

På differensial form er likningane:


{\partial\rho\over\partial t}+
\nabla\cdot(\rho\bold u)=0

{\partial\rho{\bold u}\over\partial t}+
\nabla\cdot(\rho \bold u)\bold u+\nabla p=0

{\partial E\over\partial t}+
\nabla\cdot(\bold u(E+p))=0

der E=\rho e+\rho(u^2+v^2+w^2)/2 er den totale energien per volum (e er den indre energien per masse for væska), p er trykket, u er farten til væska og \rho tettleiken. Den andre likninga inkluderer divergens av ein binær tensor, og er kanskje klårare i indeksnotasjon:


{\partial\rho u_j\over\partial t}+
{\partial\rho u_i u_j\over\partial x_i}+
{\partial p\over\partial x_j}
=0

Merk at likningane over er uttrykt på bevaringsform, sidan denne forma legg vekt på det fysiske opphavet deira (og er den enklaste forma for datasimuleringar av væskedynamikk). Rørslemengdkomponenten i Eulerlikningane vert vanlegvis uttrykt som:


\rho\left(
\frac{\partial}{\partial t}+{\bold u}\cdot\nabla
\right){\bold u}+\nabla p=0

men denne forma skjuler den direkte samanhengen mellom Eulerlikningane og Newton si andre rørslelikning (særleg er det ikkje intuitivt kvifor denne likninga er korrekt og \left(\partial/{\partial t}+{\bold u}\cdot\nabla\right)(\rho{\bold u})+\nabla p=0 ikkje er korrekt).

I bevaringsvektorform vert Eulerlikningane

 
\frac{\partial U}{\partial t}+
\frac{\partial F}{\partial x}+
\frac{\partial G}{\partial y}+
\frac{\partial H}{\partial z}=0

der


U=\begin{pmatrix}\rho  \\  \rho u  \\  \rho v  \\ \rho w  \\E\end{pmatrix}\qquad
F=\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^2\\  \rho uv \\ \rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}\qquad
G=\begin{pmatrix}\rho v\\  \rho uv \\p+\rho v^2\\ \rho vw \\v(E+p)\end{pmatrix}\qquad
H=\begin{pmatrix}\rho w\\  \rho uw \\  \rho vw \\p+\rho w^2\\w(E+p)\end{pmatrix}.\qquad

Denne forma syner at F,G,H er fluksar.

Likninga over representerer altså bevaring av masse, tre komponentar av rørslemengd, og energi. Det er derimot fem likningar og seks ukjende. For å få ei lukka problemstilling må ein bruke tilstandslikninga, og den mest vanlege forma av denne er den ideelle gasslova (t.d. p=\rho(\gamma-1)e, der ρ er tettleiken, γ er ein adiabatisk indeks, og e den indre energien).

Det ekstra leddet som har med p kan tolkast som det mekaniske arbeidet som eit væskeelement gjer på væskeelementa rundt. Desse ledda vert summert opp til null i ei inkompressibel væske.

Den meir kjende Bernoullilikninga kan utleiast ved å integrere Eulerlikningane langs ei straumlinje, viss ein set tettleiken til å vere konstant.