Gram–Schmidts ortogonaliseringsprossess

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Hopp til navigering Hopp til søk

Gram–Schmidts ortogonaliseringsprossess er ein algoritme for å generera ein ortonormalisert basis (ortogonal basis med norm 1) frå ei gjeven mengde vektorar knytte til eit indreproduktrom med eit gjeve skalarprodukt .

Metoden vart oppkalla etter Erhard Schmidt og Jørgen Pedersen Gram, sjølv om han tidlegare vart teken i bruk i verka til Laplace og Cauchy.

Han vert nytta i dei høva ein ønskjer ein ortonormal/ortogonal basis. Å finna QR-faktoriseringa av ei matrise er i røynda Gram-Schmidts ortogonaliseringsprossess.

Algoritme[endre | endre wikiteksten]

Algoritmen er basert på definisjonen av projeksjonar. Ein projeksjon er definert som;

La vera resulatet av algoritmen, altså den ortonormale basisen. La vera vektorane det skal konstruerast ein ortonormal basis av. Ein let og normaliserer vektoren. Vidare vert vektoren projektert på vektoren . Ut i frå dette vert vektoren som står ortogonalt på denne projeksjonen, altså . Vidare vert projektert på flata utspend av og . Vektoren som står ortogonalt på denne flata er . Med andre ord så vert . Slik held algoritmen fram til ein har konstruert ein ortonormal basis.

Heile algoritmen kan oppsummerast stegvis som

For kvart steg vert vektoren normalisert.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]