Norm i matematikk

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Ei norm er i matematikk ein funksjon som tilordner ei lengd til kvar og ein vektor i eit vektorrom. Lengda er ein reell skalar og vil vere positiv for alle vektorar, bortsedd frå for nullvektoren, som har lengd lik null.

Eit vektorrom er ein spesiell type metrisk rom, der ein i tillegg til avstandsmålet i eit metrisk rom òg har formalisert omgrepet lengd av individuelle element i rommet. I og med at norma introduserer eit avstandsmål i rommet, vil norma òg introdusere ein topologi i rommet.

Eit vektorrom der det er definert ein norm kallast eit normert rom eller eit normert vektorrom. Eit gjeve vektorrom kan vere utgangspunkt for ei rekkje ulike normerte rom, alt etter kva for ei norm som blir definert i rommet.

Dersom alle Cauchyfølgjer i rommet konvergerer mot ei grense som òg ligg i rommet seiast vektorrommet å vere komplett. Eit komplett normert vektorrom kallast eit Banachrom.

Formell definisjon[endre | endre wikiteksten]

Ei norm definert i eit vektorrom V er ein funksjon f: VR+, der R+ er mengda av reelle ikkje-negative tal. For alle vektorar x og y i vektrorrommet og for alle skalarar \alpha skal funksjonen oppfylle følgjande eigenskapar:

f(x) \ge 0
f(x) = 0   \iff  x = 0
f(\alpha x)=|\alpha| f(x) \,
f(x + y) \le f(x)+ f(y)

Den siste uliskapen vert kalla trekantulikskapen.

Norma til ein vektor x vert vanlegvis skriven ||x|| i staden for funksjonforma f(x).

Eigenskapar[endre | endre wikiteksten]

Ei vilkårleg norm vil alltid oppfylle relasjonen

||x-y|| \ge | \; ||x|| - ||y||\; | \,

To normer || ||1 og || ||2 definert i same vektorrom vert sagt å vere ekvivalente dersom det eksisterer konstantar m og M slik at

m||x||_2 \le ||x||_1 \le M ||x||_2 \,

Den euklidske norma[endre | endre wikiteksten]

Ei velkjend norm for vektorromma R2 og R3 er den såkalla euklidske norma. Definisjonen av denne norma samsvarer med det ein normalt vil forbinde med lengda av ein vektor eller eit linjestykke.

For ein vektor v = (x, y) i planet R2 er den euklidske norma definert ved

||v|| = \sqrt{x^2 + y^2}.

For ein vektor v = (x, y, z) i det tre-dimensjonale rommet R3 er den euklidske norma definert ved

||v|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

Meir generelt kan ein definere ei euklidsk norm som ei norm avleidd frå eit indreprodukt:

||v|| = <v,v>^{1/2} \, .

Det euklidske rommet er utstyrt med ei euklidsk norm, saman med eit indreprodukt.

p-normer i koordinatrom[endre | endre wikiteksten]

Einingssirklar i R² med omsyn til forskjellige normer.

For vektorrommet Rk, der k er eit vilkårleg positivt heiltal, vil ein vektor kunne skrivast på forma

x = (x_1, x_2, ....., x_k)  \, ,

der xi er koordinatane i rommet. For eit slikt koordinatrom kan ein definere ein familie av normer kalla p-normer eller også Hölder-normer:

||x||_p = \sqrt[p]{\sum_{i=1}^k |x_i|^p}    \qquad  p \ge 1 .

Den euklidske norma er identisk med 2-norma. Den følgjande norma vert rekna som eit spesilatilfelle i familien, ved å la p gå mot uendeleg:

||x||_\infty = \max\{x_i\,|\,1\leq i\leq k\}

Figuren til høgre viser området i R2 definert av einingssirkelen ||x||n < 1 for ulike verdiar av n.

Trekantuliskapen for desse normene er eit spesialtilfelle av Minkowskis ulikskap:

\left( \sum_{i=1}^k |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{i=1}^k |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=1}^k |y_i|^p \right)^{1/p}

p-normer i funksjonsrom[endre | endre wikiteksten]

Vektorrommet av funksjoner f (t ) definert på intervallet mellom 0 og 1, og med eigenskapen

\int_0^1 | f(t) |^p dt < \infty  \qquad 1 \le p <  \infty

kan utstyrast med norma

|| f(t) ||_p = \left [ \int_0^1 | f(t) |^p dt \right ]^{1/p}

Det normerte rommet som definerast på denne måten vert ofte skriven med Lp[0,1].

Norma til ein lineær transformasjon[endre | endre wikiteksten]

Ein lineær transformasjon frå eit normert vektorrom V inn i eit normert vektorrom U vert sagt å vere avgrensa dersom det eksisterer konstantar K slik at

||Tv|| \le K ||v|| \,

Den minste verdien for K definerer ei norm for operatoren T. Frå definisjonen følgjer det at

||Tv|| \le ||T|| \ ||v|| \, .

Formelt kan begge dei to følgjande ekvivalente definisjonane nyttast for norma:

||T|| = \sup_{v \ne 0} \frac{|| Tv|| }{||v||} \qquad \qquad  ||T|| = \sup_{||v|| = 1} || Tv||

Matrisenormer[endre | endre wikiteksten]

Sidan ei matrise representerer ein linær transformasjon mellom endeleg-dimensjonale rom, gjelder definisjonen av ei norm for generelle lineære transformasjonar òg for ei matrise. Basert på denne generelle definisjonen kan ei lage ei rekkje ulike normer for matriser, og nokre av desse opptrer under fleire alternative namn. Eit velkjend døme er 2-norma, òg kalla euklidsk norm, Froebenius-norm, Hilbert-Schmidt-norm og Schur-norm:

||A||_2 = \sqrt{tr(A^H A)} \,

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]

Kjelder[endre | endre wikiteksten]