Kepler-problemet

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Hopp til navigering Hopp til søk

Kepler-problemet er problemet med å avgjere vinkelen mellom to radiar som avgrensar ein elliptisk sektor med kjent areal. Dette spelar ei særs viktig rolle i teorien for planetrørslene.

Matematisk definisjon[endre | endre wikiteksten]

Den sentrale krafta F som varierer i styrke med omvendte kvadratet av avstanden r mellom dei:

der k er ein konstant og syner til einingsvektoren langs linja mellom dei.[1] Krafta kan vere anten tiltrekkjande (k<0) eller fråstøytande (k>0). Den samsvarande skalare potensialet (den potensielle energien til ein ikkje-sentral lekam) er:

Løysinga på Kepler-problemet[endre | endre wikiteksten]

Rørslelikninga for radien til ein partikkel med masse som flyttar seg i eit sentralt potensial er gjeven av Lagrange-likningane

og vinkelmomentet er bevart. For å illustrere dette er det første leddet på venstesida null for sirkelforma omlaup, og den nytta innoverretta krafta er lik sentripetalkrafta , som venta.

Om L er ulik null så let definisjonen av vinkelmoment ei endring av den sjølvstendige variabelen frå til

gjeven den nye rørslelikninga som er tidsuavhengig

Utvidinga av første leddet er

Denne likninga vert kvasilineær når ein byter variablane og multipliserer begge sider med

Etter å byte inn og omarrangere:

For ei omvendt kvadratlov som gravitasjons- eller elektrostatisk potensial, kan potensialet skrivast

Banen kan ein få frå den generelle likninga

der løysinga er konstanten pluss ei enkel sinuskurve

der (eksentrisiteten) og (faseforskyvinga) er konstantar i integrasjonen.

Dette er den generelle formelen for eit kjeglesnitt som har eit focus i origio; svarar til ein sirkel, svarar til ein ellipse, svarar til ein parabel, og svarar til ein hyperbel. Eksentrisiteten er knytt til den totale energien (jf. Laplace–Runge–Lenz-vektor)

Samanliknar ein desse likningane syner ein at svarar til ein ellipse (alle løysingar som er tette banar er ellipsar), varar til ein parabel, og svarar til ein hyperbel. for perfekte sirkelforma banar (den sentrale krafta er nøyaktig lik sentripetalkrafta, som avgjer den påkravde vinkelfarten for ein gjeven sirkelradius.

For ei fråstøytande kraft (k > 0) gjeld berre e > 1.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

  1. Arnold, VI (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. New York: Springer-Verlag. s. 38. ISBN 0-387-96890-3.