Kepler-problemet

Kepler-problemet er problemet med å avgjere vinkelen mellom to radiar som avgrensar ein elliptisk sektor med kjent areal. Dette spelar ei særs viktig rolle i teorien for planetrørslene.

Matematisk definisjon

Den sentrale krafta F som varierer i styrke med omvendte kvadratet av avstanden r mellom dei:

$\mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

der k er ein konstant og $\mathbf {\hat {r}}$ syner til einingsvektoren langs linja mellom dei. Krafta kan vere anten tiltrekkjande (k<0) eller fråstøytande (k>0). Den samsvarande skalare potensialet (den potensielle energien til ein ikkje-sentral lekam) er:

$V(r)={\frac {k}{r}}$

Løysinga på Kepler-problemet

Rørslelikninga for radien $r$ til ein partikkel med masse $m$ som flyttar seg i eit sentralt potensial $V(r)$ er gjeven av Lagrange-likningane

$m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}$

$\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}$ og vinkelmomentet $L=mr^{2}\omega$ er bevart. For å illustrere dette er det første leddet på venstesida null for sirkelforma omlaup, og den nytta innoverretta krafta ${\frac {dV}{dr}}$ er lik sentripetalkrafta $mr\omega ^{2}$, som venta.

Om L er ulik null så let definisjonen av vinkelmoment ei endring av den sjølvstendige variabelen frå $t$ til $\theta$

${\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}$

gjeven den nye rørslelikninga som er tidsuavhengig

${\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}$

Utvidinga av første leddet er

${\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {{2}L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}$

Denne likninga vert kvasilineær når ein byter variablane $u\equiv {\frac {1}{r}}$ og multipliserer begge sider med ${\frac {mr^{2}}{L^{2}}}$

${\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}$

${\frac {d^{2}u}{d^{2}\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}$

Etter å byte inn og omarrangere:

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)$

For ei omvendt kvadratlov som gravitasjons- eller elektrostatisk potensial, kan potensialet skrivast

$V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku$

Banen $u(\theta )$ kan ein få frå den generelle likninga

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)=-{\frac {km}{L^{2}}}$

der løysinga er konstanten $-{\frac {km}{L^{2}}}$ pluss ei enkel sinuskurve

$u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)\right]$

der $e$ (eksentrisiteten) og $\theta _{0}$ (faseforskyvinga) er konstantar i integrasjonen.

Dette er den generelle formelen for eit kjeglesnitt som har eit focus i origio; $e=0$ svarar til ein sirkel, $e<1$ svarar til ein ellipse, $e=1$ svarar til ein parabel, og $e>1$ svarar til ein hyperbel. Eksentrisiteten $e$ er knytt til den totale energien $E$ (jf. Laplace–Runge–Lenz-vektor)

$e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}$

Samanliknar ein desse likningane syner ein at $E<0$ svarar til ein ellipse (alle løysingar som er tette banar er ellipsar), $E=0$ varar til ein parabel, og $E>0$ svarar til ein hyperbel. $E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}$ for perfekte sirkelforma banar (den sentrale krafta er nøyaktig lik sentripetalkrafta, som avgjer den påkravde vinkelfarten for ein gjeven sirkelradius.

For ei fråstøytande kraft (k > 0) gjeld berre e > 1.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Kepler problem» frå Wikipedia på engelsk, den 20. juni 2016.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene: