Legendrepolynom

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Legendrepolynom er i matematikk løysingar til differensiallikninga til Legendre:

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0.

Dei er kalla opp etter Adrien-Marie Legendre. Denne ordinære differensiallikninga møter ein som regel i fysikk og andre tekniske felt. Særleg oppstår han når ein løyser Laplace-likninga (og tilknytte partielle differensiallikningar) i sfæriske koordinatar.

Differensiallikninga til Legendre kan løysast ved å bruke standar potensrekke-metode. Likninga har regulære singularpunkt ved x = ±1 så generelt vil løysinga til ei rekkje omkring origo berre konvergere for |x| < 1. Når n er eit heiltal er løysinga Pn(x) som er regulær ved x = 1 òg regulær ved x = −1 og rekkjene fr denne løysinga vert avslutta (er altså eit polynom).

Desse løysingane for n = 0, 1, 2, ... (med normaliseringa Pn(1) = 1) dannar ei polynomrekkje av ortogonale polynom kalla Legendrepolynoma. Kvart Legendrepolynom Pn(x) er eit nte-grads polynom. Det kan uttrykkast ved hjelp av Rodrigues-formelen:

P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].

At desse polynoma tilfredsstiller differensiallikninga til Legendre (1) følgje av differensieringa (n+1) multiplisert på begge sider av identiteten

(x^2-1)\frac{d}{dx}(x^2-1)^n = 2nx(x^2-1)^n

og ved å bruke den generelle Leibniz-regelen for gjentakande differensieringar.[1] Pn kan òg definerast som koeffisientar i ei Taylorrekkje-utviding:[2]

\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n\qquad (1).

I fysikk dannar denne funksjonen grunnlaget for multipolutvidingar.

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

  1. Courant & Hilbert 1953, II, §8
  2. George B. Arfken, Hans J. Weber (2005). Mathematical Methods for Physicists. Elsevier Academic Press. s. 743. ISBN 0120598760.