Legendrepolynom

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Legendrepolynom er i matematikk løysingar til differensiallikninga til Legendre:

Dei er kalla opp etter Adrien-Marie Legendre. Denne ordinære differensiallikninga møter ein som regel i fysikk og andre tekniske felt. Særleg oppstår han når ein løyser Laplace-likninga (og tilknytte partielle differensiallikningar) i sfæriske koordinatar.

Differensiallikninga til Legendre kan løysast ved å bruke standar potensrekke-metode. Likninga har regulære singularpunkt ved x = ±1 så generelt vil løysinga til ei rekkje omkring origo berre konvergere for |x| < 1. Når n er eit heiltal er løysinga Pn(x) som er regulær ved x = 1 òg regulær ved x = −1 og rekkjene fr denne løysinga vert avslutta (er altså eit polynom).

Desse løysingane for n = 0, 1, 2, ... (med normaliseringa Pn(1) = 1) dannar ei polynomrekkje av ortogonale polynom kalla Legendrepolynoma. Kvart Legendrepolynom Pn(x) er eit nte-grads polynom. Det kan uttrykkast ved hjelp av Rodrigues-formelen:

At desse polynoma tilfredsstiller differensiallikninga til Legendre (1) følgje av differensieringa (n+1) multiplisert på begge sider av identiteten

og ved å bruke den generelle Leibniz-regelen for gjentakande differensieringar.[1] Pn kan òg definerast som koeffisientar i ei Taylorrekkje-utviding:[2]

.

I fysikk dannar denne funksjonen grunnlaget for multipolutvidingar.

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

  1. Courant & Hilbert 1953, II, §8
  2. George B. Arfken, Hans J. Weber (2005). Mathematical Methods for Physicists. Elsevier Academic Press. s. 743. ISBN 0120598760.