Roterande referansesystem

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Eit roterande referansesystem er eit koordinatsystem som roterer relativt til eit tregleikssystem. Eit daglegdags døme på eit roterande referansesystem er overflata på Jorda.

Fiktive krefter[endre | endre wikiteksten]

Alle ikkje-tregleikssystem innehar fiktive krefter. Roterande referansesystem er karakterisert av tre fiktive krefter:

og for ikkje-uniforme roterande referansesystem

Forskarar på eit slikt roterande referansesystem kan måle farten og retninga til rotasjonen sin ved å måle desse fiktive kreftene. T.d kunne Léon Foucault vise corioliskrafta som kjem av jordrotasjonen ved å bruke Foucaultpendelen. Viss Jorda plutseleg byrja å rotere tusen gangar raskare (slik at kvar dag berre var om lag 86 sekund lang), ville folk lette ha merka dei fiktive kreftene som dreg i dei, akkurat som på ein spinnande karusell.

Forhold mellom posisjonar i to referansesystem[endre | endre wikiteksten]

For å utleie desse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere likningane mellom koordinatane i det roterande referansesystemet og koordinatane i eit tregleikssystem med same opphav. Viss rotasjonen er om -aksen med vinkelfarten og dei to referansesystema samsvarar ved tida , så kan transformasjonen frå dei roterande koordinatane til tregleikskoordinatane skrivast:

og den reverse transformasjonen er

Dette resultatet får ein ved å bruke ei roasjonsmatrise.

Generell utleiing i eit roterande referansesystem[endre | endre wikiteksten]

Visst vi har einingsvektorane til å representere dei tredimensjonale vektorane, kan vi la desse rotere fordi dei vil bli verande normalisert. Viss vi lèt dei rotere med farten så vert kvar einingsvektor styrt av likninga:

,

der . Så viss vi då har ein funksjon , og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

Der er endringsraten med omsyn på det roterande koordinatsystemet. Det vil sei at viss roterer med same fart som einingsvektorane () så er .

Forhold mellom snøggleik i dei to referansesystema[endre | endre wikiteksten]

Snøggleiken til ein lekam er den tidsderiverte av posisjonen til lekamen eller

Den tidsderiverte til posisjonen i eit roterande referansesystem har to komponentar, ein frå den tidsderiverte i tregleikssystemet, og ein anna frå sin eigen rotasjon. Forholdet mellom desse har ein i likninga

der vektoren peikar i same retning som rotasjonsaksen med same storleik som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom snøggleiken i dei to referansesystema:

Prov av likninga[endre | endre wikiteksten]

La oss tenkje oss ein vektor atregleik i tregleikssystemet, og aroterande er den same vektoren i det roterande referansesystemet. Pt er posisjonen til vektoren a ved tida t i tregleikssystemet, Q ere it punkt som har same startposisjon som P0 (Q0 = P0) og roterer i forhold til tregleikssystemet som om det var stasjonært på det roterande systemet. .

Etter ei svært kort tid δ t, har vi at vektoren Q0 Qδ t er

ved å bruke nokre enkle vektoroperasjonar har vi

deriverar vi på tid får vi

og ser at

Forhold mellom akselerasjon i dei to systema[endre | endre wikiteksten]

Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av snøggleik

Ved å utføre deriveringa og omarrangere nokre av ledda får ein akselerasjonen i det roterande referansesystemet

der er den tilsynelatande akselerasjonen i det roterande referansesystemet.

Dei tre ledda på høgre side kjem av dei fiktive kreftene i eit roterande referansesystem. Ved å bruke Newton si andre rørslelov , får vi

der er massen til lekamen desse tre fiktive kreftene virkar på.

Tregleiksakslerasjonen kan ein finne ut frå den totale fysiske krafta (t.d. den totale krafta frå fysiske vekselverknadar som elektromagnetisme) og bruke Newton si andre rørslelov