Roterande referansesystem

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Eit roterande referansesystem er eit koordinatsystem som roterer relativt til eit tregleikssystem. Eit daglegdags døme på eit roterande referansesystem er overflata på Jorda.

Fiktive krefter[endre | endre wikiteksten]

Alle ikkje-tregleikssystem innehar fiktive krefter. Roterande referansesystem er karakterisert av tre fiktive krefter:

og for ikkje-uniforme roterande referansesystem

Forskarar på eit slikt roterande referansesystem kan måle farten og retninga til rotasjonen sin ved å måle desse fiktive kreftene. T.d kunne Léon Foucault vise corioliskrafta som kjem av jordrotasjonen ved å bruke Foucaultpendelen. Viss Jorda plutseleg byrja å rotere tusen gangar raskare (slik at kvar dag berre var om lag 86 sekund lang), ville folk lette ha merka dei fiktive kreftene som dreg i dei, akkurat som på ein spinnande karusell.

Forhold mellom posisjonar i to referansesystem[endre | endre wikiteksten]

For å utleie desse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere likningane mellom koordinatane \left( x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime} \right) i det roterande referansesystemet og koordinatane \left( x, y, z \right) i eit tregleikssystem med same opphav. Viss rotasjonen er om z-aksen med vinkelfarten \omega og dei to referansesystema samsvarar ved tida t=0, så kan transformasjonen frå dei roterande koordinatane til tregleikskoordinatane skrivast:

x = x^{\prime}\ \cos\omega t + y^{\prime}\ \sin\omega t
y = y^{\prime}\ \cos\omega t - x^{\prime}\ \sin\omega t

og den reverse transformasjonen er

x^{\prime} = x\ \cos\left(-\omega t\right) - y\ \sin\left( -\omega t \right)
y^{\prime} = y\ \cos\left( -\omega t \right) + x\ \sin\left( -\omega t \right)

Dette resultatet får ein ved å bruke ei roasjonsmatrise.

Generell utleiing i eit roterande referansesystem[endre | endre wikiteksten]

Visst vi har einingsvektorane i, j, k til å representere dei tredimensjonale vektorane, kan vi la desse rotere fordi dei vil bli verande normalisert. Viss vi lèt dei rotere med farten  \omega så vert kvar einingsvektor styrt av likninga:

 \frac{dl}{dt}=\omega \times l,

der  l=\{i,j,k\} . Så viss vi då har ein funksjon ,  f(t)=f_x(t) i+f_y(t) j+f_z(t) k og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

\frac{df}{dt}=\frac{df_x}{dt}i+\frac{di}{dt}f_x+\frac{df_y}{dt}j+\frac{dj}{dt}f_y+\frac{df_z}{dt}k+\frac{dk}{dt}f_z
\frac{df}{dt}=\frac{df_x}{dt}i+\frac{df_y}{dt}j+\frac{df_z}{dt}k+[\omega \times (f_x i + f_y j+f_z k)]
\frac{\delta f}{\delta t}+\omega\times f(t)

Der \frac{\delta}{\delta t} er endringsraten med omsyn på det roterande koordinatsystemet. Det vil sei at viss f(t) roterer med same fart som einingsvektorane (\omega) så er \frac{\delta f}{\delta t}=0.

Forhold mellom snøggleik i dei to referansesystema[endre | endre wikiteksten]

Snøggleiken til ein lekam er den tidsderiverte av posisjonen til lekamen eller

\mathbf{v} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \frac{d\mathbf{r}}{dt}

Den tidsderiverte til posisjonen i eit roterande referansesystem har to komponentar, ein frå den tidsderiverte i tregleikssystemet, og ein anna frå sin eigen rotasjon. Forholdet mellom desse har ein i likninga

 
\left( \frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{tregleik}} = 
\left( \frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{roterande}} + 
\boldsymbol\omega \times

der vektoren \boldsymbol\omega peikar i same retning som rotasjonsaksen med same storleik som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom snøggleiken i dei to referansesystema:

 
\mathbf{v}_{\mathrm{tregleik}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_{\mathrm{tregleik}} = 
\left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_{\mathrm{roterande}} + 
\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} = 
\mathbf{v}_{\mathrm{roterande}} + \boldsymbol\omega \times \mathbf{r}

Prov av likninga[endre | endre wikiteksten]

La oss tenkje oss ein vektor atregleik i tregleikssystemet, og aroterande er den same vektoren i det roterande referansesystemet. Pt er posisjonen til vektoren a ved tida t i tregleikssystemet, Q ere it punkt som har same startposisjon som P0 (Q0 = P0) og roterer i forhold til tregleikssystemet som om det var stasjonært på det roterande systemet. .

Etter ei svært kort tid δ t, har vi at vektoren Q0 Qδ t er

\boldsymbol\omega \times \mathbf {a}_{\mathrm{tregleik}} \cdot \delta t

ved å bruke nokre enkle vektoroperasjonar har vi

\overline{P_0 P_{\delta t}} = \mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}} = \overline{P_0 Q_{\delta t}} + \overline{Q_{\delta t} P_{\delta t}} = \overline{Q_0 Q_{\delta t}} + \overline{Q_{\delta t} P_{\delta t}} = \boldsymbol\omega  \times \mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}} \cdot \delta t + \mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}}

deriverar vi på tid får vi

\mathbf{\dot a}_{\mathrm{tregleik}} = \boldsymbol \omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}} + \mathbf{\dot a}_{\mathrm{rotasjon}}

og ser at

\boldsymbol \omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}} = \boldsymbol \omega \times \mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}}

Forhold mellom akselerasjon i dei to systema[endre | endre wikiteksten]

Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av snøggleik

 
\mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   
\left( \frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}\right)_{\mathrm{tregleik}} = 
\left( \frac{d\mathbf{v}}{dt} \right)_{\mathrm{tregleik}} = 
\left[  \left( \frac{d}{dt} \right)_{\mathrm{rotasjon}} + 
\boldsymbol\omega \times 
\right]
\left[
\left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)_{\mathrm{rotasjon}} + 
\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} 
\right]

Ved å utføre deriveringa og omarrangere nokre av ledda får ein akselerasjonen i det roterande referansesystemet

 
\mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}} = 
\mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}} - 
2 \boldsymbol\omega \times \mathbf{v}_{\mathrm{rotasjon}} - 
\boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r}) - 
\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} \times \mathbf{r}

der \mathbf{a}_{\mathrm{rotasjon}} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \left( \frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}} \right)_{\mathrm{rotasjon}} er den tilsynelatande akselerasjonen i det roterande referansesystemet.

Dei tre ledda på høgre side kjem av dei fiktive kreftene i eit roterande referansesystem. Ved å bruke Newton si andre rørslelov F=ma, får vi


\mathbf{F}_{\mathrm{Coriolis}} = 
-2m \boldsymbol\omega \times \mathbf{v}_{\mathrm{rotasjon}}

\mathbf{F}_{\mathrm{sentrifugal}} = 
-m\boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r})

\mathbf{F}_{\mathrm{Euler}} = 
-m\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} \times \mathbf{r}

der m er massen til lekamen desse tre fiktive kreftene virkar på.

Tregleiksakslerasjonen \mathbf{a}_{\mathrm{tregleik}} kan ein finne ut frå den totale fysiske krafta \mathbf{F}_{\mathrm{tot}} (t.d. den totale krafta frå fysiske vekselverknadar som elektromagnetisme) og bruke Newton si andre rørslelov


\mathbf{F}_{\mathrm{tot}} = m \mathbf{a}_{\mathrm{inertial}}