Abel-teoremet

Abel-teoremet eller Abels teorem er eit matematisk teorem for potensrekkjer som knyter grenseverdien til summen av koeffisientane. Det har namn etter opphavsmannen, den norske matematikaren Niels Henrik Abel.

Teoremet[endre | endre wikiteksten]

Teoremet seier at om ein potensserie av reelle tal konvergerer for ein positiv verdi av argumentet til funksjonen, vil definisjonsmengda til ein uniform konvergens minst gå opp til og med dette punktet.^[1]

Uttrykt matematisk:

La a = {a_i: i ≥ 0} vera ei vilkårleg rekkje av reelle eller komplekse tal, og la $G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}\!$ vera potensrekkja med koeffisientane a.

Gå ut frå at rekkja $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\!$ konvergerer.

Då vil $\lim _{z\rightarrow 1^{-}}G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}.\qquad (*)\!$

I det spesielle tilfellet der alle koeffisientane a_i er reelle og a_i ≥ 0 for alle i, vil uttrykket over $(*)$ gjelda også når rekkja $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\!$ ikkje konvergerer. I dette tilfellet er begge sidene av uttrykket lik +∞.

I ein meir generell versjon av dette teoremet gjeld dette: Viss r er eit tilfeldig reelt tal ulik null og rekkja $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}r^{i}\!$ konvergerer for dette talet, følgjer det at $\lim _{z\to r}G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}r^{i}\!$ om me tolkar grensa for dette uttrykket som ei einsidig grense, frå venstre viss r er positiv og frå høyre viss r er negativ.

Eksempel[endre | endre wikiteksten]

La $f(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\log(1+x).$ Då $\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$ konvergerer (av konvergenskriteriet for alternerande rekkjer), følgjer

\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\log 2=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.

La $g(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x).$ Igjen følgjer det av konvergenskriteriet for alternerande rekkjer at $\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$ konvergerer, og at

\lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}.

Bruksområde[endre | endre wikiteksten]

Bruken av Abel-teoremet er knytt til at det gjer det mogleg å finna grensa til ei potensrekkje mens argumentet (dvs. z) nærmar seg 1 nedanfrå, sjølv i høve der konvergens radius R, for potensrekkja er lik 1 og ein ikkje kan fastslå om grensa burde vera endeleg eller ikkje. Sjå til dømes binomialrekkjene.

G_a(z) blir kalla den genererande funksjonen for sekvensen a. Abel-teoremet er ofte nyttig ved generering av funksjonar med sekvensar av reelle ikkje-negative verdiar, som sannsynsgenereande funksjonar. Det er særleg nyttig i teorien om Galton-Watson-prosessar.