Analytisk funksjon

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk
Denne artikkelen handlar om funksjonen som kan skildrast som ei potensrekkje. For funksjonen i kompleks analyse, sjå holomorf funksjon.

Ein analytisk funksjon er ein matematisk funksjon, som i eit kvart punkt i domenet sitt kan skildrast lokalt som ei konvergerande potensrekkje. Funksjonen f(x) er analytisk i p dersom han kan uttrykkjast som ei konvergerande potensrekkje i eit intervall som omgjev x = p. Dersom f(x) er analytisk i eit kvart punkt i domenet sitt, kallar vi han berre ein analytisk funksjon eller ein Cω-glatt funksjon. Det er omsynssmessig å dele inn i reelle analytiske funksjonar og komplekse analytiske funksjonar. Innan kompleks analyse er holomorf og analytisk ekvivalente eigenskapar. Ein heil funksjon er ein holomorf funksjon som er definert for heile det komplekse planet.

Eigenskapar til analytiske funksjonar[endre | endre wikiteksten]

  • Kvar og ein sum, produkt og funksjonssammensetning av analytiske funksjonar er analytiske.
  • Den inverse av ein analytisk funksjon som aldri har verdien null er analytisk. Det er òg den inverse av ein speglvend analytisk funksjon viss deriverte aldri har verdien null.
  • Ein analytisk funksjon er alltid glatt.
  • Eit polynom kan ikkje ha fleire null-løysingar enn polynomgrada. Eit liknande men svakare utsegn gjeld for analytiske funksjonar. Viss settet av null til ein analytisk funksjon f har eit akkumuleringspunkt innanfor området sitt, då må f òg vere null innanfor det tilknytte området til akkumuleringspunktet. Meir formelt kan dette framstellast i det følgjande: Viss rn er ei rekkje, slik at f(rn) = 0 for alle n og denne rekkja konvergerer til eit punkt r i domenet D, så er f identisk med null i den tilknytte komponenten av D som inneheld r.

Definisjonar[endre | endre wikiteksten]

Formelt er ein funksjon ƒ reell analytisk i eit ope sett D på ei reell linje viss ein for alle x0 i D kan skrive


\begin{align}
f(x) & = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n \\
& = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots
\end{align}

der koeffisientane a0, a1, ... er reelle tal og rekkjene konvergerer til ƒ(x) for x i området kring x0.

Alternativt er ein analytisk funksjon ein uendeleg differensierbar funksjon slik at Taylor-rekkja i punktet x0 i domenet sitt


T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

konvergerer til ƒ(x) for x i området kring x0.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]