Konstruksjon i matematikk

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk
Konstruksjon av ein regulær sekskant
Konstruksjon av ein regulær femkant

I geometri er konstruksjon det å konstruere linjestykke og vinklar med passar og linjal. Linjalen vert rekna som uendeleg lang, men har ingen merke som kan nyttast til å måle lengder. Konstruksjonar blir utført ved å bruke følgjande operasjonar:

  • Lage linja som går gjennom to eksisterande punkt.
  • Lage ein sirkel som går gjennom eit punkt og som har sentrum i eit anna punkt.
  • Lage skjeringspunktet til to ikkje-parallelle linjer.
  • Lage eit eller to punkt som er skjeringspunkt mellom ei linje og ein sirkel.
  • Lage eit eller to punkt som er skjeringspunkt mellom to sirklar.

Umoglege konstruksjonar[endre | endre wikiteksten]

Ikkje alle vinklar er moglege å konstruere. Spesielt tre problem som ein i oldtida prøvde å løyse vart vist uløyselege på 1800-talet.

Kvadraturen til sirkelen[endre | endre wikiteksten]

Gjeve ein sirkel, konstruer eit kvadrat med same areal. Dette er umogleg sidan det krev at ein konstruerer eit transcendentalt tilhøve, nemleg π-1/2, medan berre algebraiske tilhøve kan konstruerast.

Fordoblinga av kuben[endre | endre wikiteksten]

Gjeve ein kube, konstruer ein annan kube med det dobbelte volumet. Viss den opphavlege kuben har sidelengd 1, så vil ein kube med det dobbelte volumet ha sidelengd sqrt[3]2. Sidan dette ikkje er eit konstruerbart tal, er dette umogleg.

Tredelinga av ein vinkel[endre | endre wikiteksten]

Gjeve ein vilkårleg vinkel, konstruer ein vinkel som er ein tredjedel av den opphavlege vinkelen. Viss det hadde vore mogleg, ville ein ha kunna konstruere ein vinkel med 60°, tredele denne så ein får ein vinkel på 20°, og deretter konstruere eit linjestykke med lengd cos(20°). Dette er heller ikkje eit konstruerbart tal, så det følgjer at det ikkje er mogleg å tredele ein vinkel.


Tredeling av eit linjestykke[endre | endre wikiteksten]

Tredeling av eit linjestykke

Ein kan dele eit linjestykke i tre ved å bruke ei hjelpelinje(sjå biletet). Trekk ein stråle frå punktet A med valfri vinkel og lengd. Del så denne strålen i tre like store linjestykke. Dei tre linjestykka, AE, ED og DC utgjer då linjestykket AC. Trekk ei linje mellom punkta C og B. Konstruer parallellen til CB frå punktet D, og trekk denne gjennom AB. Kall skjeringspunktet F. BF er ein tredjedel av AB. Bruk lengda BF til å markere det siste punktet.




Kjelder[endre | endre wikiteksten]