Metrisk rom

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Eit metrisk rom i matematikk er ei mengd der det er definert ein metrikk eller eit avstandsmål mellom to vilkårlege element i mengda.

Eit metrisk rom har ein struktur berre bygd opp omkring avstanden mellom to objekt, og definisjonen gjer det mogleg å studere matematiske samanhengar basert på dei formelle eigenskapane til avstandsmålet. Eit matematisk resultat der beviset byggjer eine og åleine på dei generelle eigenskapane til ein metrikk, vil vere gyldig i alle metriske rom.

Formell definisjon[endre | endre wikiteksten]

Eit metrisk rom (V,d) er ei mengd V der det er definert ein metrikk d, det vil seie ein funksjon som for to element i mengda returnerer eit ikkje-negativ reelt tal:

d : V \times V \to \mathbb{R}^+

Funksjonen må oppfylle følgjande krav for alle element x, y i V:

\begin{array}{lll}
d(x,y) & \ge 0   & \mbox{Ikkje-negativ} \\
d(x,y) & = 0 \iff x = y  \\
d(x,y) & = d(y,x) & \mbox{Symmetri} \\
d(x,y)  & \le d(x,z) + d(z,y) \qquad &\mbox{Trekantulikskapen} \\
\end{array}

Komplette metriske rom[endre | endre wikiteksten]

Eit metrisk rom V blir sagt å vere komplett dersom ei kvar Cauchyfølgje konvergerer mot eit element som òg ligg i V.

Mengda av reelle tal R er eit døme på eit komplett metrisk rom. Det er derimot ikkje mengda av rasjonale tal Q, dvs. tal som kan skrivast som ein brøk. I Q er det mogleg å konstruere Cauchyfølgjer som konvergerer mot eit grense som sjølv ikkje er eit rasjonalt tal.

\epsilon-omegn[endre | endre wikiteksten]

Ein \epsilon-omegn til eit element a i eit metrisk rom (V,d) er definert som ei mengd

\{ x \in V | \ d(x,a) < \epsilon \} \,

Ei punktert \epsilon-omegn er definert tilsvarande ved å ekskludere elementet a :

\{ x \in V | \ 0 < d(x,a) < \epsilon \} \,

Avgrensa mengd i eit metrisk rom[endre | endre wikiteksten]

Ei undermengd S i eit metrisk rom (V,d) er avgrensa dersom det eksisterer eit objekt x i S og ein positiv konstant M slik at

d(x,y) < M \ \ \forall y \in S

Døme på metriske rom[endre | endre wikiteksten]

  • Mengda av reelle tal definert med metrikken d(x,y) = | x - y | er eit metrisk rom. Meir generelt er alle dei euklidske romma Rn metrisk rom.
  • Eit kvart normert vektorrom er òg eit metrisk rom definert med metrikken d(x,y) = || x - y ||.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]