Metrisk rom

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Hopp til navigering Hopp til søk

Eit metrisk rom i matematikk er ei mengd der det er definert ein metrikk eller eit avstandsmål mellom to vilkårlege element i mengda.

Eit metrisk rom har ein struktur berre bygd opp omkring avstanden mellom to objekt, og definisjonen gjer det mogleg å studere matematiske samanhengar basert på dei formelle eigenskapane til avstandsmålet. Eit matematisk resultat der beviset byggjer eine og åleine på dei generelle eigenskapane til ein metrikk, vil vere gyldig i alle metriske rom.

Formell definisjon[endre | endre wikiteksten]

Eit metrisk rom er ei mengd der det er definert ein metrikk , det vil seie ein funksjon som for to element i mengda returnerer eit ikkje-negativ reelt tal:

Funksjonen må oppfylle følgjande aksiom. For alle , har me

  • (ikkje-negativitet)
  • viss og berre viss
  • (symmetri)
  • (trekantulikskapen)

Komplette metriske rom[endre | endre wikiteksten]

Eit metrisk rom blir sagt å vere komplett dersom ei kvar Cauchyfølgje konvergerer til eit element som òg ligg i .

Mengda av reelle tal under metrikken er eit komplett metrisk rom. Det er derimot ikkje mengda av rasjonale tal med same metrikk. I er det mogleg å konstruere Cauchyfølgjer som konvergerer mot eit grense som sjølv ikkje er eit rasjonalt tal.

-omegn[endre | endre wikiteksten]

Ein -omegn til eit element i eit metrisk rom er definert som ei mengd

Ei punktert -omegn er definert tilsvarande ved å ekskludere elementet :

Avgrensa mengd i eit metrisk rom[endre | endre wikiteksten]

Ei undermengd i eit metrisk rom er avgrensa dersom det eksisterer eit objekt og ein positiv konstant slik at for alle

Døme på metriske rom[endre | endre wikiteksten]

  • Mengda av reelle tal under metrikken er eit metrisk rom. Meir generelt er alle dei euklidske romma metrisk rom.
  • Eit kvart normert vektorrom er òg eit metrisk rom definert med metrikken .

Kjelder[endre | endre wikiteksten]