Funksjonallikning

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Ei funksjonallikning er ei likning som uttrykkjer eit tilhøve mellom verdien til ein funksjon (eller funksjonar) i eit punkt med verdi i andre punkt. Nemninga funksjonallikning blir vanlegvis berre brukt for likningar som ikkje utan vidare kan reduserast til algebraiske likningar, ofte fordi to eller fleire funksjonar blir sett inn som argument i ein annan funksjon.

Døme[endre | endre wikiteksten]

  • Funksjonslikninga

f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s)
er tilfredsstilt av Riemann-zeta-funksjonen ζ. Stor Γ syner til gammafunksjonen.
  • Desse funksjonallikningane er tilfredsstilte av gammafunksjonen. Gammafunksjonen er ei unik løysing til systemet med desse tre likningane:
f(x)={f(x+1) \over x}\,\!


f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)


f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,       (Euler sin refleksjonsformel)
  • Funksjonallikningane
f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)\,\!
der a, b, c, d er heiltal tilfredsstiller adbc = 1, i.e. 
\begin{vmatrix} a & b\\c & d\end{vmatrix}\,=1, definerer f som ei modulform med orden k.
  • Forskjellige døme som ikkje nødvendigvis omfattar «kjende» likningar:
f(x + y) = f(x)f(y), \,\! tilfredsstilt av alle eksponesialfunksjonar
f(xy) = f(x) + f(y)\,\!, tilfredsstilt av alle logaritmiske funksjonar
f(x + y) = f(x) + f(y)\,\! (Cauchys funksjonallikning)
f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)]\,\! (kvadratisk likning eller parallellogramlova)
f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2\,\! (Jensen)
g(x + y) + g(x - y) = 2[g(x) g(y)]\,\! (d'Alembert)
f(h(x)) = f(x) + 1\,\! (Abel-likninga)
f(h(x)) = cf(x)\,\! (Schröder-likninga).

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]