Funksjonallikning

Ei funksjonallikning er ei likning som uttrykkjer eit tilhøve mellom verdien til ein funksjon (eller funksjonar) i eit punkt med verdi i andre punkt. Nemninga funksjonallikning blir vanlegvis berre brukt for likningar som ikkje utan vidare kan reduserast til algebraiske likningar, ofte fordi to eller fleire funksjonar blir sett inn som argument i ein annan funksjon.

Døme

• Funksjonslikninga

$f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s)$

er tilfredsstilt av Riemann-zeta-funksjonen ζ. Stor Γ syner til gammafunksjonen.

• Desse funksjonallikningane er tilfredsstilte av gammafunksjonen. Gammafunksjonen er ei unik løysing til systemet med desse tre likningane:

$f(x)={f(x+1) \over x}\,\!$

$f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)$

$f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,$       (Euler sin refleksjonsformel)

• Funksjonallikningane

$f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)\,\!$

der a, b, c, d er heiltal tilfredsstiller ad − bc = 1, i.e. $\begin{vmatrix} a & b\\c & d\end{vmatrix}\,=1$, definerer f som ei modulform med orden k.

• Forskjellige døme som ikkje nødvendigvis omfattar «kjende» likningar:

$f(x + y) = f(x)f(y), \,\!$ tilfredsstilt av alle eksponesialfunksjonar

$f(xy) = f(x) + f(y)\,\!$, tilfredsstilt av alle logaritmiske funksjonar

$f(x + y) = f(x) + f(y)\,\!$ (Cauchys funksjonallikning)

$f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)]\,\!$ (kvadratisk likning eller parallellogramlova)

$f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2\,\!$ (Jensen)

$g(x + y) + g(x - y) = 2[g(x) g(y)]\,\!$ (d'Alembert)

$f(h(x)) = f(x) + 1\,\!$ (Abel-likninga)

$f(h(x)) = cf(x)\,\!$ (Schröder-likninga).

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Functional equation» frå Wikipedia på engelsk, den 13. september 2011.

Bakgrunnsstoff

• Functional Equations: Exact Solutions hos EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index hos EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium tekst om funksjonalligninger i problemløsing.