Rotasjon i vektoranalyse

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Rotasjon (ofte kalla curl på fagspråket) er i vektoranalyse ein vektoroperator som skildrar rotasjonen til eit vektorfelt. I kvart punkt i feltet er rotasjonen representert av ein vektor. Eigenskapane til denne vektoren (lengd og retning) skildrar rotasjonen i dette punktet.

Rotasjonsretninga er rotasjonsaksen, som skildra av høgrehandsregelen, og storleiken til curlen er rotasjonsstorleiken. Om vektorfeltet representerer væskestraum til ei væske i rørsle, så er rotasjonen sirkulasjonstettleiken til væska. Eit vektorfelt med rotasjon lik null vert kalla ikkje-roterande. Rotasjonen er ei form for differensiering for vektorfelt. Den tilsvarande forma av fundamentalteoremet i analyse er stokesteoremet, som knyt overflateintegralet til rotasjonen av eit vektorfelt til eit linjeintegral til vektorfeltet rundt ei avgrensa kurve.

Notasjonar som vert nytta for rotasjonen eller curlen er \scriptstyle\operatorname{rot}\ \mathbf{F} og \scriptstyle\nabla\times\mathbf{F} (sistnemnde er mykje nytta i Europa).

Definisjon[endre | endre wikiteksten]

Rotasjonen til eit vektorfelt F, skrive \scriptstyle\nabla \times \mathbf{F}, i eit punkt er definert som projeksjonen av forskjellige linjer gjennom dette punktet. Om \scriptstyle\mathbf{\hat{n}} er ein vilkårleg einingsvektor, så er projeksjonen av rotasjonen av F\scriptstyle\mathbf{\hat{n}} definert som grenseverdien av eit lukka linjeintegral på eit plan ortogonalt til \scriptstyle\mathbf{\hat{n}} når ein i integralet kjem uendeleg nært punktet, delt på arealet som vert omslutta.

Slik sett mappar rotasjonsoperatoren C1-funksjonar frå R3 til R3 til C0-funksjonar frå R3 til R3.

Vektororientering av eit linjeintegral

Implisitt er rotasjonen eller curlen definert som :[1]

(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{\hat{n}} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{A \to 0} \frac{\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}}{A}

Her er \scriptstyle\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} eit linjeintegral langs grensa til området det er snakk om (t.d. \scriptstyle C=\partial \mathcal A), og \scriptstyle\,A er storleiken til området \scriptstyle\mathcal A. Om \scriptstyle\mathbf{\hat{\nu}} peikar utover i normalplanet, der \scriptstyle\mathbf{\hat{n}} er einingsvektoren perpendikulær til planet (sjå figur til høgre), så er orienteringa av C valt slik at vektoren \scriptstyle\mathbf{\hat{\omega}}-tangent til C er positivt orientert visst og berre visst \scriptstyle\{\mathbf{\hat{n}},\mathbf{\hat{\nu}},\mathbf{\hat{\omega}}\} dannar ein positiv orientert base for R3 (høgrehandsregelen).

Intuitiv tolking[endre | endre wikiteksten]

Tenk at vektorfeltet skildrar fartsfeltet til ein væskestraum (som ein stor tank med vatn eller gass) og ein liten bass som ligg i væska eller gassen (senteret av ballen ligg i ro på eit fast punkt). Om ballen har ei ru overflate vil han rotere når væska strøymer forbi. Rotasjonsaksen (orientert i forhold til høgrehandsregelen) peikar i retninga til curlen av feltet i senteret av ballen, og vinkelsnøggleiken til rotasjonen er halve verdien av curlen i dette punktet.

Sjølv om alle straumlinjene er parallelle, kan ballen starta å rotere om væska renn raskare på eine sida enn den andre.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

  • Denne artikkelen bygger på «Curl (mathematics)» frå Wikipedia på engelsk, den 30. november 2009.
  • Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0120598762.
  • Korn, Granino Arthur and Theresa M. Korn. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. ss. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. 
  1. «curl». Wolfram MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Curl.html. Henta 2008-07-01. 

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]