Talfølgje

Ei talfølgje er ei følgje der elementa er tal. Viss alle elementa er heiltal, blir følgja kalla ei heiltalsfølgje. Døme på slike følgjer er følgja av primtal og Fibonacci-tala; slike følgjer opptrer gjerne i talteori og kombinatorikk. Meir generelt kan elementa vere reelle eller komplekse tal. Slike følgjer opptrer ofte i analyse og nærskylde felt.

Det er vanleg å skrive ei følgje ved notasjonen

$\{a_1,a_2,a_3,\ldots\}.$

Indekseringa byrjar vanlegvis anten med 0 eller 1.

Eigenskapar til følgje

• Ei følgje er monotont veksande viss kvart element er like stort eller større enn det føregåande; det vil seie viss $a_i \leq a_{i+1}$. Viss berre element er større enn det føregåande, kallast følgja strengt monotont voksende. Omgrepa monotont fallande og strengt monotont falane blir analogt definert.

• Ei følgje er avgrensa ovanfrå viss følgja har ein øvre skranke; det vil seie at det finst eit tal $S$ slik at $a_i \leq S$ for alle $i$. Tilsvarande er ei følgje avgrensa nedanfrå viss følgja har ein nedre skranke.

• Ei følgje der annakvart element er positivt og annakvart element er negativt kallast ei alternerande følgje.
• Viss elementa til alle følgjene er like, er følgja ei konstant følgje.
• Viss følgja består av gjentakingar av ei endeleg delfølgje, blir følgja kalla periodisk.

Konvergens

Ei følgje blir sagt å konvergere mot eit tal $a$ om tala i følgja kjem nærare og nærare $a$ ettersom indeksen aukar. Formelt definerast dette slik:

Viss det for eitkvart opent intervall $I$ rundt $a$ finst eit tal $N$ slik at $a_n \in I$ for alle $n\geq N$, så konvergerer følgja mot $a$, som kallast grenseverdien til følgja.

Alternativt kan ein sei at eitkvart ope intervall $I$ rundt $a$ inneheld alle unntatt ei endeleg mengd av elementa i følgja. Viss følgja er ei følgje av komplekse tal, blir omegn nytta i staden for intervall.

Eit døme på ei konvergent følgje er følgja $\{1,1/2,1/3,1/4,\ldots\}$ som er definert ved at $a_n = 1/n$ for $n\geq 1$. Grenseverdien til følgja er 0 fordi viss ein tek eit kva for eit som helst ope intervall som inneheld 0, vil alle unntatt ei endeleg mengd av elementa i følgja liggje innanfor intervallet. Ei følgje som ikkje konvergerer, blir sagt å divergere. Eit døme på ei divergent følgje er $\{1,2,3,4,\ldots\}$, der $a_n = n$; denne følgja er ikkje avgrensa og kan dermed ikkje konvergere. Eit anna døme er $\{0,1,0,1,\ldots\}$, der elementa er 0 og 1 annakvar gong.

Sjølv om ei følgje ikkje har nokon grenseverdi, kan han besitte opphopingspunkt. Verdien $a$ er eit opphopingspunkt for følgja $\{a_n\}$ viss eitkvart intervall som inneheld $a$ inneheld uendeleg mange element i følgja. Følgja $\{0,1,0,1,\ldots\}$, som vart nemnt ovanfor har to opphopingspunk, nemleg 0 og 1.

Teorien om konvergensen av uendelege følgjer er ein viktig del av grunnlaget for analyse. Blant anna er grenseverdien til funksjonar og definisjonen av derivasjon og Riemann-integralet basert på konvergens av følgjer.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Tallfølge» frå Wikipedia på bokmål, den 11. september 2011.