Variansanalyse

Variansanalyse (ANOVA, frå det engelske «analysis of variance») er eit fellesomgrep for ei rekkje statistiske metodar for å teste likskap mellom to eller fleire utval, der éin eller fleire faktorar gjer seg gjeldande. Variansanalyse er i dei enkle tilfella eit alternativ til Z/t-testane for å samanlikne gjennomsnitt i populasjonar.

Dei to grunnleggjande formene for variansanalyse skildrast gjerne som 'einvegs' og 'tovegs' variansanalyse. I einvegs tilfellet undersøkingar ein berre éin eigenskap som varierer mellom gruppene, i tovegstilfellet undersøkjer ein òg variasjonar innover i gruppene.

Variansanalyse med éin faktor

Det enklaste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der ein har $I$ grupper med like storleikar $J$, og ønskjer å samanlikne gjennomsnitta til gruppene. Han nyttar gjerne der ein ønskjer å samanlikne skilnader i respons på forskjellige handsamingar (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen ein testar er for ei mengd populasjonar $I$

1. $H_0: \ \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_I$
2. $H_A:$ minst to av gruppene er forskjellige.

Føresetnadene for testen er at alle observasjonane er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

Kvadratavvik og varians

Dei fundamentale storleikane i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), mellom individ og gruppe (SSE) og mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Desse er definert ved
$SST = \sum_i\sum_j (x_{ij} - \overline{x}_{..})^2 = \sum_i\sum_j x_{ij}^2 - \frac{x_{..}^2}{IJ}$
$SSTr = \sum_i\sum_j (\overline{x}_{i.} - \overline{x}_{..})^2 = \frac{\sum_i X_{i.}^2}{J} - \frac{x_{..}^2}{IJ}$
$SSE = \sum_i\sum_j (x_{ij} - \overline{x}_{i.})^2$

Samanhengen mellom desse gjev opphav til den fundamentale ANOVA-identiteten SST = SSTr + SSE. Videre har vi at
$MSTr = \frac{SSTr}{I - 1}$
$MSE = \frac{SSE}{I(J-1)}$

Dette gjev opphavet til det ein kallar ein ANOVA-tabell:

Variasjonskjelde	Fridomsgrader	Kvadratavvik	Varians	f-verdi
Grupper	I - 1	SSTr	MSTr = SSTr/(I - 1)	MSTr/MSE
Feil	I(J - 1)	SSE	MSE = SSE/[I(J - 1)]
Total	IJ - 1	SST

Test av nullhypotesen

For å teste nullhypotesen, brukar ein ofte ein f-test. Testobservatoren er gjeven ved
$f = \frac{MSTr}{MSE}$

som ein reknar har ein $F_{I - 1, I(J - 1)}$-fordeling. Forkastingsområdet for $H_0$ er $f \geq F_{\alpha, I-1, I(J-1)}$ for ønska signifikansnivå $\alpha$

Tukeys prosedyre

F-testen er eit godt utgangspunkt for å samanlikne gjennomsnitta i fleire populasjonar, men han gjev ikkje svar på kva av populasjonane som er signifikant ulike kvarandre. Tukeys prosedyre nyttar ei Q-fordeling til å rekne ut kva intervall gjennomsnitta i populasjonen kan ligge i for å vere signifikant like kvarandre. For eit signifikansnivå $\alpha$ definerer vi $w$ som

$w = Q_{\alpha, I, I(J - 1)}\sqrt{MSE / J}$

Dei gjennomsnitta som har større differanse enn $w$ vert rekna å vere signifikant ulike, med signifikansnivå $\alpha$

Relasjon til t-testen

For tilfellet med to populasjonar, vil variansanalyse og ein alminneleg t-test gje same resultat for hypotesen $H_0: \ \mu_1 = \mu_2$ mot $H_A: \ \mu_1 \neq \mu_2$. T-testen er meir fleksibel, då ein og kan teste om eit gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn eit anna.

For $I > 2$ kan ein i prinsippet òg utføre t-testar for alle kombinasjonar av grupper, men dette vil gje større sannsyn for type 1-feil.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Variansanalyse» frå Wikipedia på bokmål, den 12. september 2011.
  • Wikipedia på bokmål oppgav desse kjeldene:
• Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: Modern Mathematical Statistics with Applications. Thomson 2007.