Fakultet i matematikk

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
15 1307674368000
20 2432902008176640000
25 1.5511210043×1025
50 3.0414093202×1064
70 1.1978571670×10100
100 9.3326215444×10157
170 7.2574156153×10306
171 1.2410180702×10309
450 1.7333687331×101 000
1000 4.0238726008×102 567
3249 6.4123376883×1010 000
10000 2.8462596809×1035 659
25206 1.2057034382×10100 000
100000 2.8242294080×10456 573
205023 2.5038989317×101 000 004
1000000 8.2639316883×105 565 708
1.0248383838×1098 101.0000000000×10100
10100 109.9565705518×10101
1.7976931349×10308 105.5336665775×10310

Fakultet eller n-fakultet er i matematikk ein funksjon som bereknar produktet av dei naturlege tala frå 1 til n. Funksjonen er skriven som symbolet n!, som blir lese som n-fakultet.

Døme:

4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4 = 24

Definisjon[endre | endre wikiteksten]

Formelt kan ein definere n-fakultet som

 n!=\prod_{k=1}^n k \qquad \forall n \in \mathbb{N}\!

eller rekursivt ved

 n! = \begin{cases}
1 & \text{ viss } n = 0 \\
n (n-1)! & \text{ viss } n > 0 \\
\end{cases}
\qquad \forall n \in \mathbb{N}.
.

Begge definisjonane inkluderer spesialtillfellet

0! = 1 \

Funksjonsverdiane definerer ei uendeleg talfølgje som byrjar med 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 ...

Bruk[endre | endre wikiteksten]

Fakultet opptrer naturleg i mange problem i kombinatorikk: Mengda måtar ein kan ordne n objekt i rekkefølgje er lik n!. Mengda måtar ein kan velje ut k objekt frå ei samling på n objekt er gjeven ved binomialkoeffisienten, definert ved

{n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}.

Bruken av fakultet forenklar òg notasjonen i arbeid med følgjer og rekker. Den matematiske konstanten e kan til dømes definerast som

e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!}

Vekstrate[endre | endre wikiteksten]

Plott av den naturlege logaritmen til n!

Når n aukar vil n-fakultet vokse fortare enn eit vilkårleg polynom p(n) samt fortare enn eksponensialfunksjonen med argument n. Ein asymptotisk tilnærming av n! er gjeven ved Stirlings formel,

n! \sim \left(\frac ne\right)^n\sqrt{2\pi n}.

Frå Stirlings formel kan ein òg utleie ei enkel tilnærming for den naturlege logaritmen til n! ,

\log n! \approx n\log n - n + \frac {\log n} {2} + \frac {\log(2\pi)} {2}.

Frå dette kan ein sjå at log n! er av orden n log n, eit resultat som er viktig for analyse av sorteringsalgoritmer.

Gammafunksjonen[endre | endre wikiteksten]

Gammafunksjonen
For meir om dette emnet, sjå gammafunksjonen.

Gammafunksjonen er ei generalisering av fakultet, der definisjonsområdet er utvida frå dei naturlege tala til å omfatte alle relle tal. Funksjonen er definert ved

\Gamma (x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt

For heile, positive tal og null (n=0,1,2,...) gjeld det at

n! = \Gamma(n+1)\,

Historie[endre | endre wikiteksten]

Notasjonen n! vart innført av den franske matematikeren Christian Kramp i 1808, i verket Éléments d'arithmétique universelle.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]

Bakgrunnsstoff[endre | endre wikiteksten]