Fakultet i matematikk

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
15	1307674368000
20	2432902008176640000
25	1.5511210043×10²⁵
50	3.0414093202×10⁶⁴
70	1.1978571670×10¹⁰⁰
100	9.3326215444×10¹⁵⁷
170	7.2574156153×10³⁰⁶
171	1.2410180702×10³⁰⁹
450	1.7333687331×10^1 000
1000	4.0238726008×10^2 567
3249	6.4123376883×10^10 000
10000	2.8462596809×10^35 659
25206	1.2057034382×10^100 000
100000	2.8242294080×10^456 573
205023	2.5038989317×10^1 000 004
1000000	8.2639316883×10^5 565 708
1.0248383838×10⁹⁸	10^{1.0000000000×10¹⁰⁰}
10¹⁰⁰	10^{9.9565705518×10¹⁰¹}
1.7976931349×10³⁰⁸	10^{5.5336665775×10³¹⁰}

Fakultet eller n-fakultet er i matematikk ein funksjon som bereknar produktet av dei naturlege tala frå 1 til n. Funksjonen er skriven som symbolet n!, som blir lese som n-fakultet.

Døme:

4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24

Definisjon[endre | endre wikiteksten]

Formelt kan ein definere n-fakultet som

n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad \forall n\in \mathbb {N} \!

eller rekursivt ved

n!={\begin{cases}1&{\text{ viss }}n=0\\n(n-1)!&{\text{ viss }}n>0\\\end{cases}}\qquad \forall n\in \mathbb {N} .

.

Begge definisjonane inkluderer spesialtillfellet

0!=1\

Funksjonsverdiane definerer ei uendeleg talfølgje som byrjar med 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 ...

Bruk[endre | endre wikiteksten]

Fakultet opptrer naturleg i mange problem i kombinatorikk: Mengda måtar ein kan ordne n objekt i rekkefølgje er lik n!. Mengda måtar ein kan velje ut k objekt frå ei samling på n objekt er gjeven ved binomialkoeffisienten, definert ved

{n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}.

Bruken av fakultet forenklar òg notasjonen i arbeid med følgjer og rekker. Den matematiske konstanten e kan til dømes definerast som

e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}

Vekstrate[endre | endre wikiteksten]

Plott av den naturlege logaritmen til n!

Når n aukar vil n-fakultet vokse fortare enn eit vilkårleg polynom p(n) samt fortare enn eksponensialfunksjonen med argument n. Ein asymptotisk tilnærming av n! er gjeven ved Stirlings formel,

n!\sim \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}.

Frå Stirlings formel kan ein òg utleie ei enkel tilnærming for den naturlege logaritmen til n! ,

\log n!\approx n\log n-n+{\frac {\log n}{2}}+{\frac {\log(2\pi )}{2}}.

Frå dette kan ein sjå at log n! er av orden n log n, eit resultat som er viktig for analyse av sorteringsalgoritmer.

Gammafunksjonen[endre | endre wikiteksten]

For meir om dette emnet, sjå gammafunksjonen.

Gammafunksjonen er ei generalisering av fakultet, der definisjonsområdet er utvida frå dei naturlege tala til å omfatte alle relle tal. Funksjonen er definert ved