Kryssprodukt

Kryssprodukt er i matematikk ein tostilt operasjon på vektorar i eit tredimensjonalt euklidsk rom. Operasjonen vert òg kalla vektorprodukt eller ytterprodukt, og er nært relatert til utvendig produkt. Han skil seg frå punktproduktet ved at svaret vert ein vektor, og ikkje ein skalar. Kryssproduktet til to vektorar er ortogonalt til begge to.

Definisjon

Kryssproduktet av vektorane a og b vert skrive a × b (handskrive brukar enkelte matematikarar a∧b for å unngå å blande saman kryssproduktet med bokstaven x). Den er definert som vektoren som er perpendikulær til både a og b med ein storleik som er lik arealet til parallellogrammet dei spenner over. Likninga er

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta

der θ er vinkelen mellom a og b (0° ≤ θ ≤ 180°) i planet definert ut frå spennflata mellom vektorane, og n er ein einingsvektor perpendikulær til både a og b.

Problemet med denne definisjonen er at der er to einingsvektorar som er perpendikulær til både a og b: visst n er prependikulær er òg −n det.

Kva vektor som er den «rette» er avhengig av orienteringa til vektorrommet—t.d. kva retning dei tre vektorane i koordinatsystemet peikar i (i, j, k). Kryssproduktet a × b er definert på ein slik måte at (a, b, a × b) vert høgrehandorientert (peikefingeren er ei retning, langfingeren ei anna retning og tommelen peikar oppover og representerer kryssproduktet) (i, j, k) er høgrehandsorientert, eller venstrehandsorientert viss (i, j, k) er venstrehandsorientert slik at i×j=k, j×k= i og k×i=j.

Ein enkel måte å finne retninga av resultatvektoren er «høgrehandsregelen». Viss koordinatsystemet er høgrehandsorientert, peikar ein rett og slett peikefingeren i retning til den første operanden, langefingeren i retninga til den andre operanden, og resultatvektoren vil då vere tommelen.

Sidan kryssproduktet er avhengig av kva koordinatsystem ein vel, vert resultatet kalla ein «uekte vektor». I naturen har heldigvis dei fleste storleikar som vert målt to stykk kryssprodukt, slik at når ein gjer det andre kryssproduktet så har ikkje valet av koordinatsystem noko å sei.

Kryssproduktet kan representerast grafisk, med omsyn på eit høgrehandsorientert koordinatsystem, som vist på figuren under.

Eigenskap

Geometrisk tyding

Storleiken på kryssproduktet kan tolkast som arealet av eit parallelogram der a og b er sidene:

|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta \,\!

Trippelproduktet gjev volumet V av ein parallelepiped forma av a, b, og c:

V=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).\,\!

Døme 1

Vi har to vektorar, a = (1,2,3) og b = (4,5,6). Kryssproduktet a × b er

a × b = (1,2,3) × (4,5,6) = ((2 × 6 - 3 × 5), (3 × 4 - 1 × 6), (1 × 5 - 2 × 4)) = (-3,6,-3).

Døme 2

Vi har to vektorar, a = (3,0,0) og b = (0,2,0). Kryssproduktet a × b er

a × b = (3,0,0) × (0,2,0) = ((0 × 0 - 2 × 0), -(3 × 0 - 0 × 0), (3 × 2 - 0 × 0)) = (0,0,6).

Svaret har følgjande tolkingar:

Arealet av parallelogrammet (eit rektangel i dette tilfellet) er 2 × 3 = 6.
Den andre vektoren ligg i retning mot klokka i forhold til den første vektoren sidan svaret er positivt.
Normalvektoren til alle vektorpar i xy-planet vil alltid peike i z-retninga.

Algebraiske eigenskapar

Kryssproduktet er antikommutativt,

a × b = −b × a,

fordelt ved addisjon

a × (b + c) = (a × b) + (a × c),

og samsvarar med skalar multiplisering slik at

(ra) × b = a × (rb) = r(a × b).

Han er ikkje assosiativ, men oppfyller Jacobi-identitet:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

Han følgjer ikkje kanselleringslova:

Viss a × b = a × c og a ≠ 0 så kan vi skrive:

(a × b) − (a × c) = 0 og ut frå fordelingslova over:

a × (b − c) = 0

Visst a no er parallel til (b − c), og viss a ≠ 0 er det mogeleg at (b − c) ≠ 0 og derfor at b ≠ c.

Men viss derimot både a · b = a · c og a × b = a × c, så kan vi konkludere at b = c. Dette kjem av at (b − c) ≠ 0, slik at den sjølvsagt ikkje kan vere både parallel og perpendikulær til ein annan vektor a ulik null.

Men fordelinga, lineariteten, og Jacobi-identiteten viser at R³ i lag med vektoraddisjon og kryssproduktet dannar eit Lie algebra.

Vidare har vi at to vektorar a og b, som er ulik null, er parallel viss og berre viss a × b = 0.

Matrisenotasjon

Einingsvektoren i, j og k frå det ortogonale koordinatsystemet oppfyller følgjande likskapar:

i × j = k j × k = i k × i = j.

Med desse reglane kan ein enkelt rekne ut koordinatane til kryssproduktet av to vektorar utan at ein treng vite vinklane først.

a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃]

og

b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃].

Slik at

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁].

Komponentnotasjonen over kan og skrivast som determinanten til ei matrise:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.

Determinanten til dei tre vektorane kan skrivast som

det (a, b, c) = a · (b × c).

Kryssproduktet kan skildrast ved hjelp av Sarrus sitt skjem. Vi har tabellen

{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} &\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}

Vi multipliserar dei tre første einingsvektorane med elementa på diagonalen til høgre (t.d. den første diagonalen vil innehalde i, a₂ og b₃). Dei tre siste einingsvektorane vert multiplisert med element langs diagonalen til venstre, og så omgjer vi produktet (t.d. den siste diagonalen inneheld k, a₂ og b₁). Kryssproduktet vert definert av summen av desse produkta:

\mathbf {i} (a_{2}b_{3})+\mathbf {j} (a_{3}b_{1})+\mathbf {k} (a_{1}b_{2})-\mathbf {i} (a_{3}b_{2})-\mathbf {j} (a_{1}b_{2})-\mathbf {k} (a_{2}b_{1}).

Sjølv om det her er skrive i form av koordinatar gjev den geometriske definisjonen over at kryssproduktet er invariant under rotasjon om aksen definert ved $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ , og vert invers ved å byte $\mathbf {a}$ og $\mathbf {b}$ .

Sjå òg