Laplace-transformasjon

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Hopp til navigering Hopp til søk

Laplacetransformasjon er ein matematisk operasjon som overfører ein funksjon frå tidsplanet til eit komplekst plan, kalla -planet[1][2][3]. Ved å gjere det vil enkelte matematiske operasjonar kunne bli enklare å utføre. Dette gjeld spesielt derivasjon, integrasjon og foldning. Transformasjonen er kalla opp etter Pierre-Simon Laplace.

Den tidsdiskrete varianten av laplace-transformasjonen er kjend som Z-transformasjonen.

Definisjon[endre | endre wikiteksten]

Den einsidige laplacetransformasjonen er definert:

,

der er ein funksjon (eller eit signal) i tidsplanet, er kompleks frekvens, er den imaginære eininga, er vinkelfrekvensen (rad/s) og σ er reell. I eit stabilt system er σ negativ, og tilsvarar demping. Innan matematikk og fysikk er det vanleg å nytta symbolet for den imaginære eininga, i staden for . I samband med ingeniørfag nyttar ein som oftast symbolet , for å unngå forveksling med elektrisk straum, som òg har symbolet .

Tosidig Laplace-transform[endre | endre wikiteksten]

Ein kan òg definera ein to-sidig Laplace-transformasjon, som

Invers Laplace-transformasjon[endre | endre wikiteksten]

Den inverse Laplace-transformasjonen transformerer frå det komplekse frekvensplanet (-planet) attende til tidsplanet[4]:

der er eit reelt tal større enn den største av realdelane til alle singularitetane til , og er avgrensa på integrasjonsvegen.

Operasjonar i s-planet[endre | endre wikiteksten]

I -planet vert derivasjon erstatta av multiplikasjon med , og integrasjon vert erstatta av divisjon med , noko som er mykje enklare operasjonar.

Foldning av dei to signala og vert i tidsplanet utført som

der er foldningsoperatoren, som er ein kompakt notasjon for foldning. I -planet tilsvarar dette multiplikasjon:

der og er Laplacetransformasjonane av respektivt , som er enklare å utføra. På same vis tilsvarar foldning i -planet multiplikasjon i tidsplanet.

Praktisk bruk[endre | endre wikiteksten]

Laplacetransformasjon spelar ein vikig rolle i samband med analyse og syntese av lineære dynamisk system. innan signalhandsaming[4][5][6] og reguleringsteknikk[7][8].

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]

Referansar[endre | endre wikiteksten]

  1. Appel, W., Mathématiques pour la physique et les physiciens, 4. utg., H&K Editions, 2008.
  2. Arfken, B.B. og Weber, H.J., Mathematical methods for physicists, 6. utg., Elsvier Academic Press, 2005.
  3. Dyke, P.P.G., An introduction to Laplace transforms and Fourier series, Springer, 2001.
  4. 4,0 4,1 Kuo, F.F., Network analysis ans syntesis, John Wiley & Sons., 2. utg., 1966.
  5. Lathi, B.P., Linear systems and signals, Oxford Univ. Press, 2010.
  6. Haykin, S. og van Veen, B., Signals and systems, John Wiley & Sons, 1999.
  7. Balken, J.G., Reguleringsteknikk, bind 1, Tapir, 1977.
  8. Kuo, B.C., Automatic control systems, 6. utg., Prentice-Hall, 1991.