Matematisk gruppe

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Ei gruppe er ein algebraisk struktur som består av ei ikkje-tom mengd G og ein binær operasjon * slik at

For alle a og b i G er også i G (* er lukka i G).
For alle a, b og c i G er (* er assosiativ).
Det finst eit element e i G slik at for alle a i G er (e er eit identitetselement).
For alle a i G finst det eit element slik at ( er eit inverselement til a).

Dersom me i tillegg har

For alle a og b i G er (* er kommutativ),

så er G ei abelsk gruppe.

Teiknet for den binære operasjonen kan i tillegg til * vera mellom anna + og {\cdot}, eller jukstaposisjon (som i ab for multiplikasjon av a og b). Eit eksempel på ei abelsk gruppe er , der + er ordinær addisjon og er mengda av heiltal. Denne gruppa har identitselement 0 og inverselementet til a vert vanlegvis skriven som -a.

Det kan visast at for ei gruppe gjeld også

For alle a, b og c i G er det slik at medfører (kansellasjonseigenskapen).
For alle a og b i G finst c og d i G slik at og (løyselegskapseigenskapen).

Faktisk er desse to reglane ekvivalente med eksistensen av eit identitetselement og eksistensen av ein invers, i den forstand at dersom ei semigruppe tilfredsstiller kansellasjonseigenskapen og løyselegskapseigenskapen, så er den ei gruppe.

Både identitselementet og inverselementet til kvart element a er unike, noko som følgjer av kansellasjonseigenskapen: Me får eit motsegn ved å gå ut frå at det finst to ulike slike element b og c.

Sjå òg[endre | endre wikiteksten]