Aritmetisk rekkje

Ei aritmetisk rekkje, aritmetisk progresjon eller differensrekkje er ei talrekkje der skilnaden mellom to tal som følgjer etter kvarandre i rekkja alltid er den same.

I rekkja 3, 6, 9, 12 er til dømes skilnaden mellom to påfølgjande ledd alltid lik 3.

Sum

Summen av alle ledda i ei endeleg aritmetisk rekkje er lik mengda ledd gongar den halve summen av første og siste ledd.

$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$

$S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.$

Ved å addere dei to sidene av likningane, forsvinn alle ledda som inneheld d:

$\ 2S_n=n(a_1+a_n).$

Deler ein begge sider på 2 får ein den vanlege forma av likninga:

$S_n=\frac{n}{2}( a_1 + a_n).$

Ei alternativ form kjem av å setje tilbake: $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$S_n=\frac{n}{2}[ 2a_1 + (n-1)d].$

I 499 e.Kr. gav Aryabhata frå India denne metoden i Aryabhatiya (seksjon 2.18).

Eit døme med a_n = 3 + (n-1) opp til 50 ledd er:

$S_{50} = \frac{50}{2}[2(3) + (49)(5)] = 6,275.$

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Arithmetic progression» frå Wikipedia på engelsk, den 30. oktober 2011.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene: