Differensialrekning

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Gå til: navigering, søk

Differensialrekning er den greina innan matematikken som omhandlar endringar, t.d. auke eller minking av ein matematisk funksjon. Dersom eit fenomen eller ein storleik endrar seg over tid, kan ein ved hjelp av derivasjon visa kor raskt og i kvar retning endringa skjer, generelt og til eit kvart tidspunkt. Differensialrekning vart utvikla av Gottfried Leibniz og Isaac Newton.

Den deriverte til ein funksjon kan enkelt forklarast som den momentane endringa til funksjonen, også kalla stigningstalet.

Differensialet[endre | endre wikiteksten]

Eit differensial er ei uendeleg lita endring i ein variabel. Om ein tenkjer seg ein graf. vil differensialet vera endringa i berre eitt punkt på kurva til grafen. Med ei uendeleg lita endring, oppnår ein at ein kan sjå vekk frå kurvekvalitetane i ein funksjon, og ein står att med den momentane endringa til funksjonen. Dette medfører at ein ved derivasjon og integrasjon kan finna heilt nøyaktige verdiar for ulike storleikar og eigenskapar ved funksjonen.

I tillegg kan ein ved differensialrekning gjennom enkle operasjonar kan finna omtrentlege verdiar for funksjonar som er kompliserte å rekna ut eksakte verdiar for. I våre dagar er ikkje denne sida av differensialrekning like viktig, fordi datamaskinar og -program kan gjera slike operasjonar heilt nøyaktig, raskare enn eit menneske kan utføra numeriske, omtrentlege metodar.

Derivasjon[endre | endre wikiteksten]

For ein grafisk framstilt funksjon, vil den deriverte gje stigninga til tangenten til kurva, i alle punkt på kurva. Ein meir presis definisjon gjev først ein tilnærma verdi for stigninga i funksjonen f(x) som ein sekant mellom punkta (x_0,f(x_0)) og (x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x)). Denne sekanten vil ha stigningstalet \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.

Når endringa (\Delta x) i den frie variabelen nærmar seg null, vil stigningstalet til sekanten nærma seg stigningstalet til kurva i punktet (x_0,f(x_0)), og den deriverte er dermed definert som grenseverdien

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Ein vil no lett sjå at denne teoretiske endringa i x-verdien vert uendeleg lita og dermed er differensialet til x, og at endringa til f vert differensialet til f. I differensialrekninga vert den deriverte ofte skriven som \frac{d}{dx}, der d står for differensial. I dømet med f(x) som avhengig variabel, vil ein i så fall gje den deriverte som \frac{df(x)}{dx}.

Dersom den deriverte til ein funksjon vert derivert, får ein den andrederiverte eller dobbelderiverte. Ved å tolka dei deriverte av første og andre orden, kan ein finna ut korleis funksjonen oppfører seg.

Differensiallikningar[endre | endre wikiteksten]

Ei differensiallikning er ei likning der dei ukjende er funksjonar og der den deriverte til funksjonane er med i likninga. \frac{dy}{dx}+2y=\frac{3x}{2y} er eit døme på ei slik likning, der y er ein funksjon av x.

Kjelder[endre | endre wikiteksten]