Eigenverdi, eigenvektor og eigerom

Eigenverdi, eigenvektor og eigerom er omgrep nytta i lineær algebra. Lineær algebra omhandlar lineære transformasjonar, representert ved matriser som virkar på vektorar. Eigenverdiar, eigenvektorar og eigerom er eigenskapar som ei matrise har. Dei vert rekna ut på forskjellige måtar og gjev informasjon om matrisa, og kan nyttast i matrisefaktorisering. Dei vert nytta i praktisk matematikk i så forskjellige område som finans og kvantemekanikk.

Generelt virkar ei matrise på ein vektor ved å endre både storleiken og retninga til vektoren. Ei matrise kan òg verke på visse vektorar ved berre å endre storleiken og la retninga stå uendra (eller kanskje reversere retninga). Desse vektorane er eigenvektorane til matrisa. Ei matrise virkar på ein eigenvektor ved å multiplisere storleiken deira med ein faktor, som er positiv om retninga er uendra og negativ om retninga er reversert. Denne faktoren er eigenverdien tilknytt denne eigenvektoren. Eit eigerom er eit sett med alle eigenvektorar som har same eigenverdi. Omgrepet kan ikkje formelt definerast utan føresetnader, inkludert ei forståing av matriser, vektorar og lineære transformasjonar.

Eigenverdi

Eigenverdien er ei løysing λ til den karakteristiske likninga det(A – λI) = 0, der A er ei kvadratisk matrise, I identitetsmatrisa og det står for determinant.

Om A er ei lineær avbilding i eit vektorrom V, så vert eit reelt eller komplekst tal λ kalla ein eigenverdi for A om Ax = λx for ein vektor x i V som ikkje er nullvektor. x vart då kalla ein eigenvektor for A svarande til eigenverdien λ.

Eigenverdilikning

Ei eigenverdilikning vert definert ut frå det følgjande:

Lat V vera eit vektorrom, og lat A : V - > V vera ein lineær transformasjon. Dersom

$A(v)=a\cdot v~~~~~(1)$

for minst ein skalar a og minst ein tilordna vektor v i V, kallast likninga (1) for ei eigenverdilikning.

v er då ein eigenvektor til A, og a er ein eigenverdi.

Bakgrunnsstoff

Kalkulatorar på nett

arndt-bruenner.de
bluebit.gr Arkivert 2008-12-12 ved Wayback Machine.
wims.unice.fr