Fraksjonskropp

Fraksjonskroppen eller brøkkroppen til ein heiltalsring R er den minste kroppen som har R som ein underring. Til dømes er kroppen $\mathbb{Q}$ av rasjonelle tal brøkkroppen til heiltalsringen $\mathbb{Z}$ av heiltal; me skriv $\mathbb{Q} = \frac{\mathbb{Z}}{\mathbb{Z} - \{0\}} = \{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{Z} - \{0\}\}$.

Konstruksjonen av ein fraksjonskropp

La R vera ein kommutativ ring med additiv identitet 0. Då er mengda $S = R - \{0\}$ multiplikativt lukka. Me definerer ein ekvivalensrelasjon ~ på $R \times S$ slik at :$(a,s)$ ~ $(b,t)$ dersom og berre dersom $at=bs$. Vidare let me $\frac{a}{s}$ vera ekvivalensklassa til $(a,s)$. Då er $K=\{\frac{a}{s}:a\in R, b\in S\}$ fraksjonskroppen til R, med operasjonane

$\frac{a}{s} + \frac{b}{t} = \frac{at+bs}{st}$ og

$\frac{a}{s} \cdot \frac{b}{t} = \frac{ab}{st}$

og nullelement 0/1 og multiplikativ identitet 1/1.